(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\sqrt[3]{27}\times 4^{-\frac{1}{2}}$의 값은? ① $\frac{1}{2}$ ② $\frac{3}{4}$ ③ $1$ ④ $\frac{5}{4}$ ⑤ $\frac{3}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근과 유리수 지수의 성질을 이용하여 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수식: $\sqrt[3]{27}\times 4^{-\frac{1}{2}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근을 지수 형태로 변환하고 지수법칙을 적용하여 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 거듭제곱근 $\sqrt[3]{27}$을 밑이 소수인 지수 형태로 변환하여 계산합니다.

step2. $4^{-\frac{1}{2}}$을 밑이 소수인 지수 형태로 변환하여 계산합니다.

step3. 두 값을 곱하여 최종 결과를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 성질: $\sqrt[n]{a^n}=a$ (단, $a>0$, $n$은 2 이상의 정수)

- 지수법칙: $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (단, $a>0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱근과 음수 지수를 포함한 식은 밑을 소인수분해하여 지수법칙을 적용하면 쉽게 계산할 수 있습니다.

step1. $\sqrt[3]{27}$ 계산하기

$27=3^3$이므로, $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$입니다.

step2. $4^{-\frac{1}{2}}$ 계산하기

$4=2^2$이므로, $4^{-\frac{1}{2}}=(2^2{)}^{-\frac{1}{2}}$입니다.

지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$을 적용하면, $(2^2{)}^{-\frac{1}{2}}=2^{2\times (-\frac{1}{2})}=2^{-1}$이 됩니다.

$2^{-1}=\frac{1}{2}$입니다.

[함정경고] 음수 지수를 계산할 때 부호를 헷갈려 $-2$로 착각하기 쉽습니다. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$임을 명심하세요.

step3. 두 값 곱하기

앞서 구한 두 값을 곱하면 $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$가 됩니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. $\sqrt[3]{27}$ 계산

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

step2. $4^{-\frac{1}{2}}$ 계산

$4^{-\frac{1}{2}}=(2^2{)}^{-\frac{1}{2}}=2^{-1}=\frac{1}{2}$   --- (지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 이용)

step3. 최종 계산

$3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$\therefore 정답⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

거듭제곱근 기호 $\sqrt[3]{27}$을 어떻게 처리해야 할지 몰라 당황할 수 있습니다. 음수 분수 지수 $4^{-\frac{1}{2}}$의 의미를 정확히 알지 못해 계산에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

근호 안의 수와 밑을 소인수분해하여 $27=3^3$, $4=2^2$로 바꾼 뒤 지수법칙을 적용해 보세요. 음수 지수는 역수를 의미하므로 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$임을 기억하면 쉽게 해결됩니다.

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