(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열의 합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

수열 $\{a_n\}$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^{10}(2a_k+3)=60$ 일 때, ${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k$의 값은? ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마($\sum$)의 성질을 이용하여 주어진 식을 분리하고, 미지수인 ${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k$의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^{10}(2a_k+3)=60$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 선형성을 이용하여 식을 전개하고 값을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 두 부분으로 분리합니다.

step2. 상수의 합을 계산하여 식을 정리합니다.

step3. 일차방정식을 풀어 ${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 성질: ${\sum }_{k=1}^n(c{a}_k+b)=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^{n}b$ (단, $c$는 상수)

- 상수의 합: ${\sum }_{k=1}^{n}c=c\times n$ (단, $c$는 상수)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 시그마($\sum$) 기호 안의 덧셈과 상수는 밖으로 분리하여 계산할 수 있다는 점을 떠올려야 합니다.

step1. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 두 부분으로 분리합니다.

주어진 조건 ${\sum }_{k=1}^{10}(2a_k+3)=60$ 에서, 시그마의 성질을 적용하면 다음과 같이 분리할 수 있습니다.

${\sum }_{k=1}^{10}2a_k+{\sum }_{k=1}^{10}3=60$

또한, 상수 2는 시그마 밖으로 꺼낼 수 있으므로,

$2{\sum }_{k=1}^{10}{a}_k+{\sum }_{k=1}^{10}3=60$ 이 됩니다.

step2. 상수의 합을 계산하여 식을 정리합니다.

[함정경고] 여기서 ${\sum }_{k=1}^{10}3$을 단순히 3으로 착각하기 쉽습니다. 상수가 10번 더해지는 것이므로 $3\times 10=30$으로 계산해야 합니다.

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$2{\sum }_{k=1}^{10}{a}_k+30=60$

step3. 일차방정식을 풀어 ${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k$의 값을 도출합니다.

양변에서 30을 빼면,

$2{\sum }_{k=1}^{10}{a}_k=30$

양변을 2로 나누면,

${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k=15$

따라서 구하는 값은 15이며, 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 시그마 분리 및 상수항 계산

${\sum }_{k=1}^{10}(2a_k+3)=60$

$2{\sum }_{k=1}^{10}{a}_k+{\sum }_{k=1}^{10}3=60$   --- (시그마의 성질 이용)

step2. 식 정리

$2{\sum }_{k=1}^{10}{a}_k+30=60$   --- (상수항은 $3\times 10$)

step3. 정답 도출

$2{\sum }_{k=1}^{10}{a}_k=30$

${\sum }_{k=1}^{10}{a}_k=15$

$\therefore 정답:②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

시그마 기호 안의 상수를 처리할 때, ${\sum }_{k=1}^{10}3$을 단순히 3으로 계산하여 오답을 내는 경우가 가장 흔합니다. 이는 시그마의 기본 성질에 대한 개념 혼동에서 비롯됩니다.

🔑 돌파구

${\sum }_{k=1}^{10}3$은 3을 10번 더한다는 의미임을 기억하고, $3\times 10=30$으로 계산해야 합니다. 시그마 안의 상수는 항상 위끝의 숫자와 곱해진다는 점을 명심하세요.

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