(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 4번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 4번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (함수의 연속)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 ${lim}_{x\to 1}f(x)=4-f(1)$ 을 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 연속 함수의 정의를 이용하여 극한값을 함숫값으로 바꾸어 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속
- ${lim}_{x\to 1}f(x)=4-f(1)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 연속 함수의 정의를 이용하여 극한값을 함숫값으로 대체하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속임을 이용하여 극한값을 함숫값으로 나타냅니다.

step2. 주어진 등식에 대입하여 $f(1)$에 대한 방정식을 세웁니다.

step3. 방정식을 풀어 $f(1)$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 연속: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이면 ${lim}_{x\to a}f(x)=f(a)$가 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 함수가 연속이라는 조건이 주어지면, 극한값을 함숫값으로 바꾸어 생각할 수 있습니다.

step1. 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속임을 이용하여 극한값을 함숫값으로 나타냅니다.

함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, $x=1$에서도 연속입니다.

따라서 연속의 정의에 의해 다음이 성립합니다.

${lim}_{x\to 1}f(x)=f(1)$

step2. 주어진 등식에 대입하여 $f(1)$에 대한 방정식을 세웁니다.

문제에서 주어진 조건식은 다음과 같습니다.

${lim}_{x\to 1}f(x)=4-f(1)$

위 식의 좌변인 ${lim}_{x\to 1}f(x)$ 대신 $f(1)$을 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.

$f(1)=4-f(1)$

[함정경고] 극한 기호가 있다고 해서 복잡한 극한 계산을 하려고 시도하기 쉽습니다. 연속이라는 조건이 있을 때는 극한값을 바로 함숫값으로 대체해야 함을 놓치지 마세요.

step3. 방정식을 풀어 $f(1)$의 값을 구합니다.

$f(1)=4-f(1)$

우변의 $-f(1)$을 좌변으로 이항하면,

$2f(1)=4$

양변을 2로 나누면,

$f(1)=2$

따라서 $f(1)$의 값은 2이며, 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 연속의 정의 적용

$f(x)$가 연속이므로

${lim}_{x\to 1}f(x)=f(1)$   --- (연속 함수의 성질 이용)

step2. 방정식 세우기

$f(1)=4-f(1)$   --- (주어진 식에 대입하면)

step3. $f(1)$ 계산

$2f(1)=4$

$f(1)=2$

$\therefore 정답:②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극한 기호 ${lim}_{x\to 1}f(x)$를 보고 구체적인 함수식이 없어서 어떻게 계산해야 할지 막막해할 수 있습니다. '연속'이라는 조건이 수식으로 어떻게 번역되는지(극한값=함숫값) 연결하지 못해 식을 변형하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

함수가 연속이라는 조건이 주어지면 가장 먼저 ${lim}_{x\to a}f(x)=f(a)$를 떠올려야 합니다. 주어진 식의 극한 부분을 함숫값 $f(1)$로 바꾸어 $f(1)$에 대한 간단한 일차방정식으로 만들어 보세요. 팁: 연속 함수 문제에서 극한이 보이면 무조건 함숫값으로 대입해 봅니다.

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