(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=x^2-2x+3$ 에 대하여 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ 의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의를 이해하고 다항함수의 도함수를 이용하여 특정 점에서의 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=x^2-2x+3$
- 구해야 할 값: ${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의와 다항함수의 미분법을 이용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 구하고자 하는 극한식이 미분계수 $f^{\prime }(3)$을 의미함을 파악합니다.

step2. 주어진 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step3. 도함수에 $x=3$을 대입하여 $f^{\prime }(3)$의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의: ${lim}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\prime }(a)$

- 다항함수의 미분법: $f(x)=x^n$ 이면 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$, $f(x)=cx$ 이면 $f^{\prime }(x)=c$, 상수의 미분은 0이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 구하고자 하는 복잡한 극한식이 사실은 $x=3$에서의 미분계수 $f^{\prime }(3)$을 의미한다는 것을 파악하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 구하고자 하는 극한식의 의미 파악

문제에서 구하고자 하는 값은 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ 입니다.

이는 미분계수의 정의에 따라 함수 $f(x)$의 $x=3$에서의 순간변화율, 즉 $f^{\prime }(3)$을 의미합니다.

step2. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

주어진 함수는 $f(x)=x^2-2x+3$ 입니다.

다항함수의 미분법을 이용하여 도함수를 구하면,

$f^{\prime }(x)=2x-2$ 가 됩니다.

step3. $f^{\prime }(3)$ 계산하기

구해진 도함수 식에 $x=3$을 대입합니다.

$f^{\prime }(3)=2\times 3-2=6-2=4$

따라서 구하는 극한값은 4입니다.

[함정경고] 극한식을 직접 대입하여 풀 수도 있지만, 계산 과정이 길어지고 실수할 확률이 높아집니다. 미분계수의 정의를 떠올려 도함수를 이용하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 미분계수 정의

${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=f^{\prime }(3)$

step2. 도함수 계산

$f(x)=x^2-2x+3$

$f^{\prime }(x)=2x-2$

step3. 값 대입

$f^{\prime }(3)=2(3)-2=4$

$\therefore 4$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극한식 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ 이 미분계수 $f^{\prime }(3)$을 의미한다는 것을 바로 떠올리지 못해 식을 직접 대입하다가 계산 실수를 할 수 있습니다. 다항함수의 미분 공식을 정확히 기억하지 못해 도함수를 잘못 구할 수 있습니다.

🔑 돌파구

${lim}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 형태의 식을 보면 즉각적으로 $f^{\prime }(a)$로 해석하는 연습을 해야 합니다. $f(x)=x^n$의 미분은 $n{x}^{n-1}$이라는 기본 공식을 확실히 암기하고 적용하세요. 복잡한 극한 문제는 대부분 미분계수의 정의를 묻는 문제일 가능성이 높습니다.

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