(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수열의 합과 일반항의 관계, 부분분수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)a_k}=n^2+2n$ 을 만족시킬 때, ${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n$의 값은? ① $\frac{10}{21}$ ② $\frac{4}{7}$ ③ $\frac{2}{3}$ ④ $\frac{16}{21}$ ⑤ $\frac{6}{7}$

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 일반항을 구하고, 부분분수를 활용하여 수열의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 자연수 $n$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)a_k}=n^2+2n$

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 일반항을 찾고, 부분분수를 통해 합을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 $\frac{1}{(2n-1)a_n}$을 구합니다.

step2. 구한 식을 정리하여 $a_n$을 구합니다.

step3. 부분분수 분해를 이용하여 ${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n$을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 합과 일반항의 관계: 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $b_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$이며, $b_1=S_1$입니다.

- 부분분수 분해: 분모가 두 식의 곱으로 이루어진 경우, $\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$ 로 변형하여 계산을 간단히 할 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡해 보이는 $\sum$ 기호 안의 식 전체를 하나의 새로운 수열의 일반항으로 생각하고, 수열의 합과 일반항의 관계를 적용하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 $\frac{1}{(2n-1)a_n}$을 구합니다.

주어진 식에서 $\sum$ 안의 식 전체를 $b_k=\frac{1}{(2k-1)a_k}$로 생각하면, 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n=n^2+2n$이 됩니다.

수열의 합과 일반항의 관계에 의해 $n\ge 2$일 때,

$b_n=S_n-S_{n-1}$

$=(n^2+2n)-\{(n-1{)}^2+2(n-1)\}$

$=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)$

$=n^2+2n-(n^2-1)$

$=2n+1$ 입니다.

$n=1$일 때 $b_1=S_1=1^2+2(1)=3$이고, 이는 $2n+1$에 $n=1$을 대입한 값과 일치하므로 모든 자연수 $n$에 대해 $b_n=2n+1$이 성립합니다.

step2. 구한 식을 정리하여 $a_n$을 구합니다.

$b_n=\frac{1}{(2n-1)a_n}=2n+1$ 이므로, 양변을 정리하여 $a_n$에 대해 풀면

$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 이 됩니다.

step3. 부분분수 분해를 이용하여 ${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n$을 계산합니다.

우리가 구해야 할 값은 ${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 입니다.

[함정경고] 여기서 분모가 이차식인 형태를 그대로 두고 계산하려고 하면 막히기 쉽습니다. 분모가 두 일차식의 곱으로 되어 있을 때는 반드시 부분분수 분해를 떠올려야 합니다.

부분분수 공식 $\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$ 를 적용하면,

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{(2n+1)-(2n-1)}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$ 가 됩니다.

이를 시그마 식에 대입하여 나열해 봅니다.

${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n=\frac{1}{2}{\sum }_{n=1}^{10}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$

$=\frac{1}{2}\{(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\dots +(\frac{1}{19}-\frac{1}{21})\}$

이웃하는 항들이 연쇄적으로 지워지고, 맨 앞의 $1$과 맨 뒤의 $-\frac{1}{21}$만 남게 됩니다.

$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{21})$

$=\frac{1}{2}\times \frac{20}{21}$

$=\frac{10}{21}$

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 수열의 합과 일반항의 관계

$S_n=n^2+2n$ 이라 하면,

$\frac{1}{(2n-1)a_n}=S_n-S_{n-1}$   --- (n≥ 2일 때)

$=(n^2+2n)-\{(n-1{)}^2+2(n-1)\}$

= n² + 2n -   --- n² - 2n + 1 + 2n - 2

$=2n+1$

   --- n=1일 때 $S_1=3$이고, $2(1)+1=3$이므로 n=1도 성립

step2. $a_n$ 구하기

$\frac{1}{(2n-1)a_n}=2n+1$

$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

step3. 부분분수를 이용한 합 계산

${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$=\frac{1}{2}{\sum }_{n=1}^{10}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$   --- (부분분수 분해 이용)

$=\frac{1}{2}\{(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\dots +(\frac{1}{19}-\frac{1}{21})\}$

$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{21})$

$=\frac{1}{2}\times \frac{20}{21}=\frac{10}{21}$

$\therefore 정답①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

수열의 합 기호 $\sum$ 안에 복잡한 형태 $\frac{1}{(2k-1)a_k}$가 들어있어, 이를 하나의 새로운 수열로 치환하여 생각하지 못하고 당황할 수 있습니다. 또한 $a_n$을 구한 후, 분모가 이차식인 형태의 합을 구할 때 부분분수 분해를 떠올리지 못해 계산이 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$\sum$ 안의 전체 식을 하나의 일반항 $b_k$로 생각하고, 수열의 합과 일반항의 관계($S_n-S_{n-1}$)를 적용하여 $b_n$을 먼저 구해보세요. 분모가 두 일차식의 곱으로 이루어진 수열의 합은 부분분수 공식 $\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$을 이용하여 연쇄적으로 소거되는 형태로 변형하세요. (팁: 복잡한 $\sum$ 문제는 덩어리째 치환하는 것이 핵심입니다!)

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