(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

12. $a_2=-4$이고 공차가 0이 아닌 등차수열 $a_n$에 대하여 수열 $b_n$을 $b_n=a_n+a_{n+1}(n\ge 1)$이라 하고, 두 집합 $A,B$를 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\},B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$라 하자. $n(A\cap B)=3$이 되도록 하는 모든 수열 $a_n$에 대하여 $a_{20}$의 값의 합은? [4점] ① 30 ② 34 ③ 38 ④ 42 ⑤ 46

1. 문제의 요지

이 문제는 등차수열의 성질과 집합의 교집합 조건을 이용하여 가능한 공차를 모두 구하고, 이를 통해 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등차수열 $a_n$의 제2항 $a_2=-4$
- 수열 $a_n$의 공차 $d\ne 0$
- $b_n=a_n+a_{n+1}(n\ge 1)$
- $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$
- $B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$
- $n(A\cap B)=3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 집합 A와 B의 원소들을 공차 d로 표현하고, 교집합의 원소가 3개가 되기 위한 조건을 찾아 공차 d를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 수열 $a_n$과 $b_n$의 일반항을 공차 $d$를 이용하여 표현합니다.

step2. 집합 $A$와 $B$의 원소들을 $d$에 대한 식으로 나열합니다.

step3. $A\cap B$의 원소가 3개가 되기 위한 조건을 분석하여 가능한 $d$의 값을 모두 구합니다.

step4. 구한 $d$의 값들에 대하여 각각 $a_{20}$을 계산하고 그 합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 제$n$항은 $a_n=a+(n-1)d$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 집합 $A$의 원소들은 공차가 $d$인 등차수열을 이루고, 집합 $B$의 원소들은 공차가 $2d$인 등차수열을 이룬다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 수열 $a_n$과 $b_n$의 일반항을 공차 $d$를 이용하여 표현합니다.

$a_2=-4$이므로, 등차수열 $a_n$의 일반항은 $a_n=-4+(n-2)d$ 입니다.

수열 $b_n$은 $b_n=a_n+a_{n+1}$ 이므로,

$b_n=\{-4+(n-2)d\}+\{-4+(n-1)d\}=-8+(2n-3)d$ 입니다.

step2. 집합 $A$와 $B$의 원소들을 $d$에 대한 식으로 나열합니다.

집합 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ 의 원소들은 다음과 같습니다.

$A=\{-4-d,-4,-4+d,-4+2d,-4+3d\}$

집합 $B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ 의 원소들은 다음과 같습니다.

$B=\{-8-d,-8+d,-8+3d,-8+5d,-8+7d\}$

step3. $A\cap B$의 원소가 3개가 되기 위한 조건을 분석하여 가능한 $d$의 값을 모두 구합니다.

집합 $A$의 원소들은 공차가 $d$인 등차수열이고, 집합 $B$의 원소들은 공차가 $2d$인 등차수열입니다.

$n(A\cap B)=3$이 되려면, 집합 $B$의 원소 중 3개가 집합 $A$에 포함되어야 합니다.

[함정경고] 집합 $B$에서 선택된 3개의 원소가 연속되지 않을 수도 있다고 착각하기 쉽습니다. 하지만 $B$의 공차가 $2d$이므로 연속되지 않은 세 원소의 간격은 최소 $4d$가 되며, 집합 $A$의 최대 간격이 $4d$이므로 3개의 원소가 포함될 수 없습니다. 따라서 $B$에서 선택된 3개의 원소는 반드시 연속되어야 합니다.

집합 $A$ 안에서 공차가 $2d$인 3개의 원소는 $\{a_1,a_3,a_5\}=\{-4-d,-4+d,-4+3d\}$ 뿐입니다.

따라서 집합 $B$의 연속된 세 원소가 이 세 원소와 같아야 합니다.

경우 1) $(b_1,b_2,b_3)=(a_1,a_3,a_5)$ 일 때

$b_1=a_1$ 이므로 $-8-d=-4-d$ 가 되어 $-8=-4$ 라는 모순이 발생합니다.

경우 2) $(b_2,b_3,b_4)=(a_1,a_3,a_5)$ 일 때

$b_2=a_1$ 이므로 $-8+d=-4-d$ 가 되어 $2d=4$, 즉 $d=2$ 입니다.

경우 3) $(b_3,b_4,b_5)=(a_1,a_3,a_5)$ 일 때

$b_3=a_1$ 이므로 $-8+3d=-4-d$ 가 되어 $4d=4$, 즉 $d=1$ 입니다.

step4. 구한 $d$의 값들에 대하여 각각 $a_{20}$을 계산하고 그 합을 구합니다.

$d=2$ 일 때, $a_{20}=a_2+18d=-4+18\times 2=32$ 입니다.

$d=1$ 일 때, $a_{20}=a_2+18d=-4+18\times 1=14$ 입니다.

따라서 모든 수열 $a_n$에 대하여 $a_{20}$의 값의 합은 $32+14=46$ 입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 표현

$a_n=-4+(n-2)d$

$b_n=a_n+a_{n+1}=-8+(2n-3)d$

step2. 집합 원소 나열

$A=\{-4-d,-4,-4+d,-4+2d,-4+3d\}$   --- (공차 $d$)

$B=\{-8-d,-8+d,-8+3d,-8+5d,-8+7d\}$   --- (공차 $2d$)

step3. 교집합 조건 분석

$n(A\cap B)=3$ 이려면 $B$의 연속된 세 원소가 $A$의 간격 $2d$인 세 원소 $\{a_1,a_3,a_5\}$와 같아야 함.

1) $b_1=a_1⟹-8-d=-4-d$   --- 모순

2) $b_2=a_1⟹-8+d=-4-d⟹2d=4⟹d=2$

3) $b_3=a_1⟹-8+3d=-4-d⟹4d=4⟹d=1$

step4. $a_{20}$ 계산

$d=2$ 일 때, $a_{20}=-4+18(2)=32$

$d=1$ 일 때, $a_{20}=-4+18(1)=14$

∴ 정답: $32+14=46$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

집합 $A$와 $B$의 원소들을 나열한 후, 교집합의 원소가 3개가 되는 조건을 어떻게 수식으로 풀어내야 할지 막막할 수 있습니다. 두 집합의 원소들이 각각 공차가 $d$, $2d$인 등차수열을 이룬다는 구조적 특징을 파악하지 못하면 경우의 수를 나누는 데 어려움을 겪습니다.

🔑 돌파구

집합 $A$의 원소 간격은 $d$이고 집합 $B$의 원소 간격은 $2d$임을 확인하세요. $B$의 원소 3개가 $A$에 포함되려면, $A$ 안에서 간격이 $2d$인 세 원소($a_1,a_3,a_5$)와 같아야 함을 이용해 방정식을 세우면 됩니다. 팁: 두 등차수열의 교집합 문제는 각 수열의 공차의 비율을 비교하여 겹치는 패턴을 찾는 것이 핵심입니다.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기