(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미적분/함수의 극한)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 실수 $t(0<t<1)$에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 중에서 직선 $y=2tx-1$과의 거리가 최소인 점을 P라 하고, 직선 OP가 직선 $y=2tx-1$과 만나는 점을 Q라 할 때, ${lim}_{t\to 1^{-}}\frac{\overline{PQ}}{1-t}$의 값은? (단, O는 원점이다.) ① $\sqrt{6}$ ② $\sqrt{7}$ ③ $2\sqrt{2}$ ④ $3$ ⑤ $\sqrt{10}$

1. 문제의 요지

이 문제는 곡선 밖의 직선까지의 거리가 최소가 되는 점의 성질을 이용하여 점의 좌표를 구하고, 두 점 사이의 거리를 $t$에 대한 식으로 나타낸 후 함수의 극한을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 실수 $t$의 범위: $0<t<1$
- 곡선: $y=x^2$
- 직선: $y=2tx-1$
- 점 P: 곡선 $y=x^2$ 위의 점 중 직선 $y=2tx-1$과의 거리가 최소인 점
- 점 Q: 직선 OP와 직선 $y=2tx-1$이 만나는 점
- O는 원점 $(0,0)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 곡선 밖의 직선까지의 거리가 최소가 되는 점의 성질을 이용하여 점 P의 좌표를 구하고, 직선의 방정식을 연립하여 점 Q의 좌표를 찾은 뒤, 두 점 사이의 거리를 구하여 극한을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 곡선 $y=x^2$ 위의 점 중 직선 $y=2tx-1$과 거리가 최소인 점 P의 좌표를 구합니다.

step2. 원점 O와 점 P를 지나는 직선 OP의 방정식을 구합니다.

step3. 직선 OP와 직선 $y=2tx-1$의 교점 Q의 좌표를 구합니다.

step4. 두 점 P, Q 사이의 거리 $\overline{PQ}$를 $t$에 대한 식으로 나타냅니다.

step5. 주어진 극한식에 $\overline{PQ}$를 대입하여 극한값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 접선의 기울기: 곡선 밖의 직선까지의 거리가 최소가 되는 곡선 위의 점에서의 접선은 주어진 직선과 평행하다.

- 두 점 사이의 거리 공식: 좌표평면 위의 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$이다.

- 함수의 극한: $\frac{0}{0}$ 꼴의 극한은 인수분해를 통해 공통인수를 약분하여 계산한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리가 최소가 되려면, 그 점에서의 접선이 주어진 직선과 평행해야 합니다.

step1. 점 P의 좌표 구하기

곡선 $y=x^2$ 위의 점 중에서 직선 $y=2tx-1$과의 거리가 최소가 되려면, 점 P에서의 접선의 기울기가 직선 $y=2tx-1$의 기울기인 $2t$와 같아야 합니다.

$y=x^2$을 미분하면 $y^{\prime }=2x$입니다.

접선의 기울기가 $2t$가 되는 $x$의 값을 구하면 $2x=2t$에서 $x=t$입니다.

따라서 점 P의 $x$좌표는 $t$이고, $y$좌표는 $t^2$이므로 점 P의 좌표는 $(t,t^2)$입니다.

step2. 직선 OP의 방정식 구하기

원점 O$(0,0)$과 점 P$(t,t^2)$을 지나는 직선의 기울기는 $\frac{t^2-0}{t-0}=t$입니다.

따라서 직선 OP의 방정식은 $y=tx$입니다.

step3. 점 Q의 좌표 구하기

점 Q는 직선 OP($y=tx$)와 직선 $y=2tx-1$이 만나는 점이므로 두 식을 연립하여 풉니다.

$tx=2tx-1$

$tx=1$

$x=\frac{1}{t}$

$x=\frac{1}{t}$을 $y=tx$에 대입하면 $y=t\times \frac{1}{t}=1$입니다.

따라서 점 Q의 좌표는 $(\frac{1}{t},1)$입니다.

step4. 선분 PQ의 길이 구하기

점 P$(t,t^2)$과 점 Q$(\frac{1}{t},1)$ 사이의 거리 $\overline{PQ}$를 구합니다.

$\overline{PQ}=\sqrt{(\frac{1}{t}-t{)}^2+(1-t^2{)}^2}$

$=\sqrt{(\frac{1-t^2}{t}{)}^2+(1-t^2{)}^2}$

$=\sqrt{\frac{(1-t^2{)}^2}{t^2}+(1-t^2{)}^2}$

$=\sqrt{(1-t^2{)}^2(\frac{1}{t^2}+1)}$

[함정경고] 근호 밖으로 식을 꺼낼 때 부호에 주의해야 합니다. $0<t<1$이므로 $1-t^2>0$입니다.

$=(1-t^2)\sqrt{\frac{1+t^2}{t^2}}$

$=\frac{1-t^2}{t}\sqrt{1+t^2}$

step5. 극한값 계산하기

구하고자 하는 극한값은 ${lim}_{t\to 1^{-}}\frac{\overline{PQ}}{1-t}$입니다.

${lim}_{t\to 1^{-}}\frac{\overline{PQ}}{1-t}={lim}_{t\to 1^{-}}\frac{\frac{1-t^2}{t}\sqrt{1+t^2}}{1-t}$

분자의 $1-t^2$을 인수분해하면 $(1-t)(1+t)$가 됩니다.

$={lim}_{t\to 1^{-}}\frac{(1-t)(1+t)\sqrt{1+t^2}}{t(1-t)}$

분모와 분자에서 공통인수 $(1-t)$를 약분합니다.

$={lim}_{t\to 1^{-}}\frac{(1+t)\sqrt{1+t^2}}{t}$

이제 $t=1$을 대입하여 극한값을 계산합니다.

$=\frac{(1+1)\sqrt{1+1^2}}{1}=2\sqrt{2}$

따라서 구하는 극한값은 $2\sqrt{2}$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 P의 좌표

$y=x^2\Rightarrow y^{\prime }=2x$

$2x=2t\Rightarrow x=t$

$\therefore P(t,t^2)$

step2. 직선 OP

기울기 $=\frac{t^2}{t}=t$

$\therefore y=tx$

step3. 점 Q의 좌표

$tx=2tx-1\Rightarrow tx=1\Rightarrow x=\frac{1}{t}$

$y=t·\frac{1}{t}=1$

$\therefore Q(\frac{1}{t},1)$

step4. 선분 PQ의 길이

$\overline{PQ}=\sqrt{(\frac{1}{t}-t{)}^2+(1-t^2{)}^2}$

$=\sqrt{\frac{(1-t^2{)}^2}{t^2}+(1-t^2{)}^2}$

$=\sqrt{(1-t^2{)}^2(\frac{1}{t^2}+1)}$

$=\frac{1-t^2}{t}\sqrt{1+t^2}(\because 0<t<1)$

step5. 극한값 계산

${lim}_{t\to 1^{-}}\frac{\overline{PQ}}{1-t}={lim}_{t\to 1^{-}}\frac{\frac{(1-t)(1+t)}{t}\sqrt{1+t^2}}{1-t}$

$={lim}_{t\to 1^{-}}\frac{(1+t)\sqrt{1+t^2}}{t}$

$=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$

$\therefore 정답③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생이 막힐 가능성이 가장 높은 지점은 점 P의 좌표를 설정하는 부분과 선분 PQ의 길이를 구한 후 식을 정리하는 부분입니다. 곡선과 직선 사이의 거리가 최소가 되는 조건을 접선의 기울기로 연결하지 못하거나, 복잡한 무리식을 극한 계산이 용이한 형태로 정리하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

곡선 밖의 직선과 곡선 위의 점 사이의 거리가 최소가 되려면, 그 점에서의 접선이 주어진 직선과 평행해야 한다는 기하학적 성질을 떠올려야 합니다. 또한, 두 점 사이의 거리 공식으로 얻은 복잡한 근호 안의 식은 공통인수 $(1-t^2{)}^2$으로 묶어내어 근호 밖으로 빼내면 극한 계산을 위한 약분이 쉬워집니다. 복잡한 식일수록 공통인수를 찾는 습관을 들이세요.

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