(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분, 방정식의 실근의 개수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

두 곡선 $y=2x^2-1,y=x^3-x^2+k$가 만나는 점의 개수가 2가 되도록 하는 양수 $k$의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 두 함수의 그래프가 만나는 점의 개수를 방정식의 실근의 개수로 해석하고, 미분을 이용하여 그래프의 개형을 파악하여 상수 $k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 1: $y=2x^2-1$
- 곡선 2: $y=x^3-x^2+k$
- 두 곡선이 만나는 점의 개수가 2
- $k$는 양수

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 곡선의 교점의 개수를 방정식의 실근의 개수로 변환한 후, 미분을 통해 삼차함수의 극값을 조사하여 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 곡선의 방정식을 연립하여 하나의 삼차방정식으로 만듭니다.

step2. 삼차방정식의 실근의 개수가 2개가 될 조건을 극값을 이용하여 찾습니다.

step3. 양수 $k$의 조건을 만족하는 값을 구하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 방정식의 실근의 개수와 그래프의 교점: 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 교점의 $x$좌표는 방정식 $f(x)=g(x)$의 실근과 같다.

- 삼차방정식의 실근의 개수: 삼차함수 $h(x)$가 극값을 가질 때, 방정식 $h(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 (극댓값) $\times$ (극솟값) $=0$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 곡선이 만나는 점의 개수는 두 식을 연립한 방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같습니다. 따라서 식을 정리하여 하나의 함수로 만들고, 미분을 통해 그래프의 개형을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 두 곡선의 방정식을 연립하여 하나의 삼차방정식으로 만듭니다.

두 곡선 $y=2x^2-1$과 $y=x^3-x^2+k$가 만나는 점의 $x$좌표는 다음 방정식의 해와 같습니다.

$2x^2-1=x^3-x^2+k$

이 식을 한쪽으로 이항하여 정리하면,

$x^3-3x^2+k+1=0$ 이 됩니다.

이 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 2개가 되어야 합니다.

step2. 삼차방정식의 실근의 개수가 2개가 될 조건을 극값을 이용하여 찾습니다.

$f(x)=x^3-3x^2+k+1$이라 하면, 방정식 $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.

삼차함수 $f(x)$가 $x$축과 두 점에서 만나려면 극댓값 또는 극솟값이 0이어야 합니다.

함수 $f(x)$의 극값을 찾기 위해 미분합니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$의 값은 $x=0$ 또는 $x=2$입니다.

따라서 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극댓값, $x=2$에서 극솟값을 가집니다.

극댓값: $f(0)=0^3-3·0^2+k+1=k+1$

극솟값: $f(2)=2^3-3·2^2+k+1=8-12+k+1=k-3$

step3. 양수 $k$의 조건을 만족하는 값을 구하여 정답을 도출합니다.

방정식 $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 극댓값이나 극솟값 중 하나가 0이어야 하므로,

$k+1=0$ 또는 $k-3=0$ 입니다.

즉, $k=-1$ 또는 $k=3$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $k$의 값을 모두 답으로 생각하기 쉽습니다. 하지만 문제에서 $k$는 '양수'라는 조건이 주어졌으므로 반드시 확인해야 합니다.

조건에 따라 양수 $k$의 값은 $3$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 두 곡선의 방정식을 연립

$2x^2-1=x^3-x^2+k$

$x^3-3x^2+k+1=0$

step2. 극값을 이용한 실근 조건 확인

$f(x)=x^3-3x^2+k+1$ 이라 하면

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f^{\prime }(x)=0$ 에서 $x=0,2$

--- 실근이 2개이려면 극값이 0이어야 하므로

$f(0)=k+1=0$ $\Rightarrow$ $k=-1$

$f(2)=8-12+k+1=k-3=0$ $\Rightarrow$ $k=3$

step3. 양수 k 도출

$k>0$ 이므로 $k=3$

$\therefore 3$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- 두 곡선의 교점의 개수를 구하는 문제를 어떻게 접근해야 할지 몰라 식을 세우지 못할 수 있습니다. - 삼차방정식의 실근의 개수가 2개가 되기 위한 조건(극댓값 또는 극솟값이 0)을 떠올리지 못해 계산이 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

- 두 함수의 교점은 두 식을 같다고 놓은 방정식의 실근과 같음을 이용해 하나의 삼차방정식 $f(x)=0$ 꼴로 만드세요. - 삼차함수 그래프가 $x$축과 두 점에서 만나려면 그래프가 $x$축에 접해야 하므로, 미분을 통해 구한 극댓값이나 극솟값이 0이 되어야 함을 이용하세요. - 팁: 방정식 $f(x)=g(x)$의 실근 개수는 $h(x)=f(x)-g(x)$로 두고 $h(x)=0$의 실근 개수로 파악하는 것이 편리합니다.

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