2024년 6월 모평 (고3) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (미적분/다항함수의 적분법)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

15. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 상수 $k(k\ge 0)$에 대하여 함수 $g(x)=\{\begin{array}{cc}2x-k\hfill & (x\le k)\hfill \\ f(x)\hfill & (x>k)\hfill \end{array}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다. (나) 모든 실수 $x$에 대하여 ${\int }_0^{x}g(t)\{|t(t-1)|+t(t-1)\}dt\ge 0$이고 ${\int }_3^{x}g(t)\{|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)\}dt\ge 0$이다. $g(k+1)$의 최솟값은? [4점] ① $4-\sqrt{6}$ ② $5-\sqrt{6}$ ③ $6-\sqrt{6}$ ④ $7-\sqrt{6}$ ⑤ $8-\sqrt{6}$

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 부호 조건을 해석하여 피적분함수의 부호 변화를 파악하고, 미분가능성과 증가 조건을 통해 삼차함수를 결정하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$
- 상수 $k\ge 0$
- $g(x)=\{\begin{array}{cc}2x-k\hfill & (x\le k)\hfill \\ f(x)\hfill & (x>k)\hfill \end{array}$
- (가) $g(x)$는 실수 전체에서 증가하고 미분가능하다.
- (나) 모든 실수 $x$에 대하여 ${\int }_0^{x}g(t)\{|t(t-1)|+t(t-1)\}dt\ge 0$
- (나) 모든 실수 $x$에 대하여 ${\int }_3^{x}g(t)\{|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)\}dt\ge 0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 부호 조건을 해석하여 $g(1)=0$임을 알아내고, 미분가능성 조건을 통해 삼차함수 $f(x)$를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 $x=k$에서의 연속성과 미분가능성 조건을 식으로 나타냅니다.

step2. 조건 (나)의 첫 번째 부등식을 해석하여 $g(1)\ge 0$임을 도출합니다.

step3. 조건 (나)의 두 번째 부등식을 해석하여 $g(1)\le 0$임을 도출하고, 결과적으로 $g(1)=0$임을 확인합니다.

step4. $k$의 범위를 나누어 $g(1)=0$을 만족하는 $k$값을 찾고, $f(x)$의 식을 세웁니다.

step5. $f(x)$가 증가함수일 조건을 이용하여 미지수의 범위를 구하고, $g(k+1)$의 최솟값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분으로 정의된 함수의 부호: ${\int }_a^{x}f(t)dt\ge 0$이 모든 $x$에 대해 성립하려면, $x>a$일 때 $f(x)\ge 0$이고 $x<a$일 때 $f(x)\le 0$이어야 합니다.

- 미분가능성: 함수가 특정 점에서 미분가능하려면 그 점에서 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 조건 (가)에 의해 $g(x)$는 $x=k$에서 연속이고 미분가능해야 합니다.

$x\le k$에서 $g(x)=2x-k$이므로 $g(k)=k$, $g^{\prime }(k)=2$입니다.

따라서 $f(k)=k$이고 $f^{\prime }(k)=2$이어야 합니다.

또한 $g(x)$는 실수 전체에서 증가하므로 $x>k$에서 $f^{\prime }(x)\ge 0$이어야 합니다.

step2. 조건 (나)의 첫 번째 부등식을 분석합니다.

$h_1(t)=|t(t-1)|+t(t-1)$라 하면,

$t\le 0$ 또는 $t\ge 1$일 때 $h_1(t)=2t(t-1)\ge 0$이고,

$0<t<1$일 때 $h_1(t)=0$입니다.

모든 $x$에 대하여 ${\int }_0^{x}g(t)h_1(t)dt\ge 0$이 성립해야 합니다.

$x>1$일 때, ${\int }_0^{1}g(t)·0dt+{\int }_1^{x}g(t)·2t(t-1)dt={\int }_1^{x}g(t)·2t(t-1)dt\ge 0$입니다.

적분 구간이 정방향이고 피적분함수가 항상 0 이상이어야 하므로, $t>1$에서 $g(t)·2t(t-1)\ge 0$이어야 합니다.

$t>1$에서 $2t(t-1)>0$이므로 $g(t)\ge 0$이어야 합니다.

$g(x)$는 연속함수이므로 극한을 취하면 [키포인트] $g(1)\ge 0$을 얻습니다.

step3. 조건 (나)의 두 번째 부등식을 분석합니다.

$h_2(t)=|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)$라 하면,

$t\le -2$ 또는 $t\ge 1$일 때 $h_2(t)=0$이고,

$-2<t<1$일 때 $h_2(t)=-2(t-1)(t+2)>0$입니다.

모든 $x$에 대하여 ${\int }_3^{x}g(t)h_2(t)dt\ge 0$이 성립해야 합니다.

$x<1$일 때, ${\int }_3^{1}0dt+{\int }_1^{x}g(t)h_2(t)dt={\int }_1^{x}g(t)h_2(t)dt\ge 0$입니다.

적분 구간이 역방향($1\to x$)이므로, $t<1$에서 피적분함수 $g(t)h_2(t)\le 0$이어야 합니다.

$-2<t<1$에서 $h_2(t)>0$이므로 $g(t)\le 0$이어야 합니다.

$g(x)$는 연속함수이므로 극한을 취하면 [키포인트] $g(1)\le 0$을 얻습니다.

step2. 와 종합하면 **$g(1)=0$**이어야 합니다.

step4. $g(1)=0$을 만족하는 $k$를 찾습니다.

[함정경고] $k$의 값에 따라 $x=1$이 $2x-k$에 속하는지 $f(x)$에 속하는지 달라지므로 경우를 나누어야 합니다.

만약 $0\le k<1$이라면 $g(1)=f(1)=0$입니다.

$f(x)=(x-k{)}^3+a(x-k{)}^2+2(x-k)+k$로 둘 수 있습니다.

$f(1)=(1-k{)}^3+a(1-k{)}^2+2(1-k)+k=0$에서 $a$를 구하면 $a=-(1-k)-\frac{2}{1-k}-\frac{k}{(1-k{)}^2}$가 됩니다.

$0\le k<1$이므로 $a<-3$이 됩니다.

하지만 $f^{\prime }(x)=3(x-k{)}^2+2a(x-k)+2\ge 0$이 항상 성립하려면 판별식 $D/4=a^2-6\le 0$ 즉 $-\sqrt{6}\le a\le \sqrt{6}$이어야 하므로 모순이 발생합니다.

따라서 $k\ge 1$이어야 합니다.

$k\ge 1$이면 $g(1)=2(1)-k=0$이므로 $k=2$입니다.

step5. $k=2$일 때 $f(x)$를 결정하고 최솟값을 구합니다.

$f(2)=2$, $f^{\prime }(2)=2$이므로 $f(x)=(x-2{)}^3+a(x-2{)}^2+2(x-2)+2$입니다.

$f^{\prime }(x)=3(x-2{)}^2+2a(x-2)+2\ge 0$이 모든 실수에서 성립해야 하므로,

판별식 $D/4=a^2-6\le 0$에서 $-\sqrt{6}\le a\le \sqrt{6}$입니다.

우리가 구하고자 하는 값은 $g(k+1)=g(3)=f(3)$입니다.

$f(3)=1^3+a(1^2)+2(1)+2=a+5$입니다.

$a$의 최솟값이 $-\sqrt{6}$이므로, $g(3)$의 최솟값은 $5-\sqrt{6}$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 미분가능성 조건

$g(k)=k⟹f(k)=k$

$g^{\prime }(k)=2⟹f^{\prime }(k)=2$

$f^{\prime }(x)\ge 0(x>k)$

step2. 첫 번째 적분 조건

$h_1(t)=|t(t-1)|+t(t-1)$

$t>1$에서 $h_1(t)=2t(t-1)>0$

${\int }_1^{x}g(t)h_1(t)dt\ge 0⟹g(t)\ge 0(t>1)$

$\therefore g(1)\ge 0$

step3. 두 번째 적분 조건

$h_2(t)=|(t-1)(t+2)|-(t-1)(t+2)$

$-2<t<1$에서 $h_2(t)=-2(t-1)(t+2)>0$

${\int }_3^{x}g(t)h_2(t)dt\ge 0(x<1)$

$⟹{\int }_1^{x}g(t)h_2(t)dt\ge 0⟹g(t)\le 0(t<1)$

$\therefore g(1)\le 0$

$\therefore g(1)=0$

step4. k값 결정

$k<1$이면 $f(1)=0$이나 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 조건에 모순

$k\ge 1$이면 $g(1)=2-k=0⟹k=2$

step5. 최솟값 계산

$f(x)=(x-2{)}^3+a(x-2{)}^2+2(x-2)+2$

$f^{\prime }(x)=3(x-2{)}^2+2a(x-2)+2\ge 0$

$D/4=a^2-6\le 0⟹-\sqrt{6}\le a\le \sqrt{6}$

$g(3)=f(3)=1+a+2+2=a+5$

$\therefore \text{최솟값}=5-\sqrt{6}$

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