2024년 6월 모평 (고3) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (로그부등식과 이차함수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$의 값의 합은? [4점] ${\log }_2\sqrt{-n^2+10n+75}-{\log }_4(75-kn)$의 값이 양수가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수가 12이다. ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 진수 조건과 밑을 통일하여 로그부등식을 푼 후, 주어진 조건을 만족하는 자연수 $n$의 개수가 12개가 되도록 하는 자연수 $k$의 값을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $k$는 자연수
- $n$은 자연수
- ${\log }_2\sqrt{-n^2+10n+75}-{\log }_4(75-kn)>0$ 을 만족하는 자연수 $n$의 개수가 12개

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 진수 조건과 부등식의 해를 구하여 공통 범위를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

step2. 로그의 밑을 통일하여 부등식을 풀고 $n$의 범위를 구합니다.

step3. 진수 조건과 부등식의 해의 공통 범위에 속하는 자연수 $n$의 개수가 12개가 되도록 하는 자연수 $k$의 조건을 찾습니다.

step4. 조건을 만족하는 $k$의 값을 구하고 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건: ${\log }_{a}b$ 가 정의되기 위해서는 $a>0,a\ne 1,b>0$ 이어야 합니다.

- 로그의 성질: ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$ 입니다.

- 로그부등식: 밑 $a$가 $a>1$일 때, ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)⟺f(x)>g(x)>0$ 입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 [키포인트] 로그의 진수 조건을 빠짐없이 확인하고, 부등식의 해와 연립하여 정수(자연수) 해의 개수를 세는 것이 핵심입니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

주어진 부등식은 ${\log }_2\sqrt{-n^2+10n+75}-{\log }_4(75-kn)>0$ 입니다.

로그의 진수는 항상 양수이어야 하므로 두 가지 조건을 만족해야 합니다.

첫째, $-n^2+10n+75>0$

양변에 $-1$을 곱하면 $n^2-10n-75<0$ 이고, 인수분해하면 $(n-15)(n+5)<0$ 입니다.

따라서 $-5<n<15$ 입니다.

$n$은 자연수이므로 $n$은 $1,2,3,\dots ,14$ 중 하나입니다. $\cdots$ (가)

둘째, $75-kn>0$

$kn<75$ 이므로 $n<\frac{75}{k}$ 입니다. $\cdots$ (나)

step2. 로그의 밑을 통일하여 부등식을 풀고 $n$의 범위를 구합니다.

${\log }_2\sqrt{-n^2+10n+75}$ 의 밑을 4로 변환합니다.

${\log }_2\sqrt{-n^2+10n+75}=\frac{1}{2}{\log }_2(-n^2+10n+75)={\log }_4(-n^2+10n+75)$

따라서 주어진 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\log }_4(-n^2+10n+75)-{\log }_4(75-kn)>0$

${\log }_4(-n^2+10n+75)>{\log }_4(75-kn)$

밑이 4로 1보다 크므로 진수의 대소 관계는 그대로 유지됩니다.

$-n^2+10n+75>75-kn$

$-n^2+10n+kn>0$

$n^2-(10+k)n<0$

$n(n-(10+k))<0$

$n$은 자연수이므로 $0<n<10+k$ 입니다. $\cdots$ (다)

step3. 진수 조건과 부등식의 해의 공통 범위에 속하는 자연수 $n$의 개수가 12개가 되도록 하는 자연수 $k$의 조건을 찾습니다.

자연수 $n$은 (가), (나), (다) 조건을 모두 만족해야 합니다.

(가) $1\le n\le 14$

(나) $n<\frac{75}{k}$

(다) $n<10+k$

이 세 조건을 동시에 만족하는 자연수 $n$의 개수가 12개이려면, $n=1,2,\dots ,12$는 조건을 만족하고 $n=13$은 조건을 만족하지 않아야 합니다.

$n=12$일 때 (나), (다)를 만족해야 하므로:

$12<\frac{75}{k}⟹12k<75⟹k<\frac{75}{12}=6.25$

$12<10+k⟹k>2$

따라서 자연수 $k$는 3, 4, 5, 6 중 하나입니다.

[함정경고] 여기서 $n=13$일 때 조건을 만족하지 않아야 한다는 사실을 놓치기 쉽습니다. $n=12$까지만 성립한다고 해서 $k$의 범위를 단정지으면 안 됩니다.

$n=13$일 때 (나) 또는 (다)를 만족하지 않아야 하므로:

$13\ge \frac{75}{k}$ 또는 $13\ge 10+k$

$13k\ge 75⟹k\ge \frac{75}{13}\approx 5.76$

또는 $k\le 3$

step4. 조건을 만족하는 $k$의 값을 구하고 그 합을 계산합니다.

$k$는 3, 4, 5, 6 중 하나이면서, $k\le 3$ 또는 $k\ge 5.76$ 이어야 합니다.

이를 만족하는 자연수 $k$는 3과 6입니다.

확인을 위해 대입해 봅니다.

$k=3$일 때: (나) $n<25$, (다) $n<13$. 공통 범위는 $n<13$ 이고, (가)와 교집합하면 $1\le n\le 12$ 이므로 12개 성립.

$k=4$일 때: (나) $n<18.75$, (다) $n<14$. 공통 범위는 $n<14$ 이고, (가)와 교집합하면 $1\le n\le 13$ 이므로 13개 불성립.

$k=5$일 때: (나) $n<15$, (다) $n<15$. 공통 범위는 $n<15$ 이고, (가)와 교집합하면 $1\le n\le 14$ 이므로 14개 불성립.

$k=6$일 때: (나) $n<12.5$, (다) $n<16$. 공통 범위는 $n<12.5$ 이고, (가)와 교집합하면 $1\le n\le 12$ 이므로 12개 성립.

따라서 조건을 만족하는 모든 자연수 $k$는 3과 6이며, 그 합은 $3+6=9$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$-n^2+10n+75>0⟹n^2-10n-75<0⟹(n-15)(n+5)<0$

$\therefore 1\le n\le 14(\because n\text{은 자연수})\cdots$   --- 가

$75-kn>0⟹n<\frac{75}{k}\cdots$   --- 나

step2. 부등식 풀이

${\log }_2\sqrt{-n^2+10n+75}={\log }_4(-n^2+10n+75)$

${\log }_4(-n^2+10n+75)>{\log }_4(75-kn)$

$-n^2+10n+75>75-kn$

$n^2-(10+k)n<0⟹n(n-(10+k))<0$

$\therefore 0<n<10+k\cdots$   --- 다

step3. $k$의 조건 찾기

(가), (나), (다)를 만족하는 자연수 $n$이 12개이려면 $n=12$는 성립, $n=13$은 불성립해야 함.

$n=12$ 대입: $12<\frac{75}{k}⟹k<6.25$, $12<10+k⟹k>2$

$\therefore k\in \{3,4,5,6\}$

$n=13$ 대입 시 불성립 조건: $13\ge \frac{75}{k}⟹k\ge \frac{75}{13}\approx 5.76$ 또는 $13\ge 10+k⟹k\le 3$

step4. $k$ 값 계산

위 조건들을 동시에 만족하는 $k$는 3, 6

$\therefore 3+6=9$

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