2024년 6월 모평 (고3) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (부정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime }(x)=6x^2+2$이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수가 주어졌을 때 부정적분을 이용하여 원래 함수를 구하고, 주어진 함숫값을 통해 적분상수를 결정한 후 특정 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f'(x) = 6x² + 2
- f(0) = 3

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 부정적분하여 원래 함수를 구하고, 초기 조건을 이용해 적분상수를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 도함수 $f^{\prime }(x)$를 부정적분하여 함수 $f(x)$의 식을 세웁니다.

step2. 조건 $f(0)=3$을 이용하여 적분상수 $C$의 값을 구합니다.

step3. 완성된 함수 $f(x)$에 $x=2$를 대입하여 $f(2)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 부정적분: 도함수 $f^{\prime }(x)$가 주어졌을 때, $f(x)=\int f^{\prime }(x)dx$를 통해 원래 함수를 구할 수 있습니다. 이때 적분상수 $C$가 추가됩니다.

- 다항함수의 적분법: $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$ (단, $n\ne -1$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 도함수 $f^{\prime }(x)$가 주어졌을 때 원래 함수 $f(x)$를 구하려면 부정적분을 해야 하며, 이때 반드시 적분상수 $C$를 붙여야 합니다.

step1. 주어진 도함수 $f^{\prime }(x)=6x^2+2$를 부정적분하여 함수 $f(x)$를 구합니다.

$f(x)=\int (6x^2+2)dx$

$f(x)=2x^3+2x+C$ (단, $C$는 적분상수)

[함정경고] 부정적분을 할 때 적분상수 $C$를 빼먹기 쉽습니다. 적분상수를 잊으면 $f(0)$의 조건을 활용할 수 없으므로 주의해야 합니다.

step2. 문제에서 주어진 조건 $f(0)=3$을 이용하여 적분상수 $C$를 구합니다.

$f(0)=2(0{)}^3+2(0)+C=3$

따라서 $C=3$입니다.

이를 통해 함수 $f(x)$를 완성하면 다음과 같습니다.

$f(x)=2x^3+2x+3$

step3. 완성된 함수 $f(x)$에 $x=2$를 대입하여 $f(2)$의 값을 구합니다.

$f(2)=2(2{)}^3+2(2)+3$

$f(2)=2(8)+4+3$

$f(2)=16+4+3=23$

따라서 $f(2)$의 값은 23입니다.

[정답] 23

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분

$f(x)=\int (6x^2+2)dx$

$f(x)=2x^3+2x+C$

step2. 적분상수 결정

$f(0)=C=3$   --- ($f(0)=3$이므로)

$\therefore f(x)=2x^3+2x+3$

step3. 함숫값 계산

$f(2)=2(2{)}^3+2(2)+3$

$f(2)=16+4+3=23$

$\therefore 23$

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