2024년 6월 모평 (고3) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 정적분의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

19. 시각 $t=0$ 일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t\ge 0$ 에서의 속도 $v(t)$가 $v(t)=\{\begin{array}{cc}-t^2+t+2\hfill & (0\le t\le 3)\hfill \\ k(t-3)-4\hfill & (t>3)\hfill \end{array}$ 이다. 출발한 후 점 P의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 점 P의 위치가 1일 때, 양수 $k$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 속도 함수의 부호 변화를 통해 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾고, 정적분을 이용하여 위치를 계산하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 시각 t=0일 때 원점 출발 (초기 위치 x(0) = 0)
- $속도v(t)=-t^2+t+2(0\le t\le 3)$
- 속도 v(t) = k(t-3) - 4 (t > 3)
- 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각에서의 위치가 1
- k는 양수

3. 풀이의 순서

이 문제는 속도 함수의 부호가 바뀌는 시점을 찾고, 정적분을 통해 위치를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $0\le t\le 3$ 구간에서 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 시각을 찾아 첫 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각을 구합니다.

step2. $t>3$ 구간에서 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 시각을 찾아 두 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각을 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. $t=0$부터 두 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각까지의 정적분을 계산하여 위치가 1이 되는 $k$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 속도와 위치의 관계: 시각 $t=0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 $x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(t)dt$ 이다.

- 운동 방향의 변화: 속도 $v(t)$의 부호가 바뀔 때 점의 운동 방향이 바뀐다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점의 운동 방향이 바뀌는 시각은 속도 $v(t)=0$이 되면서 그 전후로 부호가 바뀌는 시점입니다. 위치는 속도를 정적분하여 구합니다.

step1. $0\le t\le 3$ 구간에서 속도 $v(t)$를 인수분해하여 부호 변화를 확인합니다.

$v(t)=-t^2+t+2=-(t^2-t-2)=-(t-2)(t+1)$

$t\ge 0$이므로 $t=2$일 때 $v(t)=0$이 됩니다.

$0\le t<2$에서는 $v(t)>0$이고, $2<t\le 3$에서는 $v(t)<0$이므로, $t=2$에서 운동 방향이 첫 번째로 바뀝니다.

step2. $t>3$ 구간에서 속도 $v(t)$의 부호 변화를 확인합니다.

$v(t)=k(t-3)-4$

$k$가 양수이므로 이 함수는 기울기가 양수인 직선입니다.

$t=3$일 때 $v(3)=-4$ (음수)이고, $v(t)=0$이 되는 시각을 $t=a$라고 하면,

$k(a-3)-4=0$에서 $a=3+\frac{4}{k}$가 됩니다.

$t=a$ 전후로 $v(t)$의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로, $t=a$에서 운동 방향이 두 번째로 바뀝니다.

step3. $t=a$에서의 위치가 1이라는 조건을 이용하여 정적분 방정식을 세웁니다.

점 P의 시각 $t=a$에서의 위치 $x(a)$는 다음과 같습니다.

$x(a)=x(0)+{\int }_0^{a}v(t)dt=0+{\int }_0^3(-t^2+t+2)dt+{\int }_3^a(k(t-3)-4)dt=1$

먼저 $0\le t\le 3$ 구간의 정적분을 계산합니다.

${\int }_0^3(-t^2+t+2)dt={[-\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^2+2t]}_0^3=-9+\frac{9}{2}+6=\frac{3}{2}$

다음으로 $3\le t\le a$ 구간의 정적분을 계산합니다.

이 구간에서 $v(t)$는 직선이고 $x$축 아래에 위치한 삼각형 모양이므로, 정적분 값은 삼각형의 넓이에 마이너스를 붙인 것과 같습니다.

밑변의 길이는 $a-3=\frac{4}{k}$이고, 높이는 $|v(3)|=4$입니다.

${\int }_3^a(k(t-3)-4)dt=-\frac{1}{2}\times \frac{4}{k}\times 4=-\frac{8}{k}$

[함정경고] $t>3$ 구간의 정적분을 계산할 때, 속도가 음수인 구간이므로 정적분 값이 음수가 되어야 함을 놓치기 쉽습니다. 넓이를 구한 후 반드시 부호를 확인하세요.

이제 두 정적분 값을 더하여 방정식을 풉니다.

$\frac{3}{2}-\frac{8}{k}=1$

$\frac{8}{k}=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$

따라서 $k=16$입니다.

[정답] 16

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 전환점

$v(t)=-t^2+t+2=-(t-2)(t+1)$

$t=2$에서 $v(t)=0$ 이고 부호 변화   --- +에서 -

step2. 두 번째 전환점

$t>3$에서 $v(t)=k(t-3)-4$

$v(a)=0$ 이라 하면 $k(a-3)=4\Rightarrow a=3+\frac{4}{k}$

step3. 위치 계산

$x(a)={\int }_0^3(-t^2+t+2)dt+{\int }_3^a(k(t-3)-4)dt=1$

${\int }_0^3(-t^2+t+2)dt={[-\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^2+2t]}_0^3=-9+\frac{9}{2}+6=\frac{3}{2}$

${\int }_3^a(k(t-3)-4)dt=-\frac{1}{2}\times (a-3)\times 4=-\frac{1}{2}\times \frac{4}{k}\times 4=-\frac{8}{k}$   --- (삼각형 넓이 이용)

$\frac{3}{2}-\frac{8}{k}=1$

$\frac{8}{k}=\frac{1}{2}$

$\therefore k=16$

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