2024년 6월 모평 (고3) 수학 22번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 22번
문제의 분류	고등학교 (수열의 귀납적 정의)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

수열 $\{a_n\}$은 $a_2=-a_1$ 이고, $n\ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\{\begin{array}{cc}{a}_n-\sqrt{n}\times a_{\sqrt{n}}\hfill & (\sqrt{n}\text{이 자연수이고 }{a}_n>0\text{인 경우})\hfill \\ a_n+1\hfill & (\text{그 외의 경우})\hfill \end{array}$ 를 만족시킨다. $a_{15}=1$이 되도록 하는 모든 $a_1$ 값의 곱을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 조건에 따라 경우를 나누어 역추적 또는 순차적 대입을 통해 초기항을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- a₂ = -a₁
- n >= 2인 자연수 n에 대하여,
- $a_{n+1}=a_n-\sqrt{n}\times a_{\sqrt{n}}(\sqrt{n}이자연수이고a_n>0인경우)$
- a_n+1 = a_n + 1 (그 외의 경우)
- a₁₅ = 1

3. 풀이의 순서

이 문제는 점화식의 조건에 따라 경우를 나누어 순차적으로 항을 표현하고, 마지막 항의 조건을 이용해 초기항을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $n$이 완전제곱수가 아닌 경우 점화식이 단순한 등차수열 형태임을 파악하고, $a_{15}$에서 역추적하여 $a_{10}$의 값을 구합니다.

step2. $a_1=k$로 두고 $a_2,a_3,a_4$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step3. $n=4$일 때의 조건($a_4>0$)에 따라 경우를 나누어 $a_5$부터 $a_9$까지의 식을 구합니다.

step4. $n=9$일 때의 조건($a_9>0$)에 따라 다시 경우를 세분화하여 $a_{10}$의 식을 구하고, step1에서 구한 $a_{10}$의 값과 비교하여 $k$를 찾습니다.

step5. 구한 $k$ 값들이 각 경우의 조건을 만족하는지 확인한 후, 모든 가능한 $a_1$ 값들의 곱을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이전 항들의 관계를 통해 다음 항을 결정하는 규칙입니다. 이 문제에서는 $n$이 완전제곱수인지 여부와 $a_n$의 부호에 따라 규칙이 달라집니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점화식에서 $\sqrt{n}$이 자연수가 되는 경우는 $n$이 완전제곱수일 때뿐입니다. $n=2$부터 $14$까지의 범위에서 완전제곱수는 $4$와 $9$뿐이므로, $n=4$와 $n=9$일 때만 조건에 따라 분기가 발생하고 나머지 경우는 단순히 $1$씩 더해진다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. $a_{10}$의 값 구하기

$n=10,11,12,13,14$일 때, $\sqrt{n}$은 자연수가 아닙니다.

따라서 점화식의 '그 외의 경우'에 해당하여 $a_{n+1}=a_n+1$이 적용됩니다.

$a_{15}=a_{14}+1=a_{13}+2=\dots =a_{10}+5$

문제에서 $a_{15}=1$이므로,

$a_{10}+5=1⟹a_{10}=-4$입니다.

step2. $a_1$을 미지수로 두고 초기 항들 표현하기

$a_1=k$라고 합시다.

조건에 의해 $a_2=-a_1=-k$입니다.

$n=2,3$일 때 $\sqrt{n}$은 자연수가 아니므로 $1$씩 더해집니다.

$a_3=a_2+1=-k+1$

$a_4=a_3+1=-k+2$

step3. $n=4$일 때의 분기 처리

$n=4$일 때 $\sqrt{4}=2$로 자연수입니다. 따라서 $a_4>0$인지 여부에 따라 점화식이 달라집니다.

$a_4>0⟺-k+2>0⟺k<2$

[경우 1] $k<2$ (즉, $a_4>0$)인 경우

$a_5=a_4-\sqrt{4}\times a_{\sqrt{4}}=a_4-2a_2$

$a_5=(-k+2)-2(-k)=k+2$

$n=5,6,7,8$일 때는 $\sqrt{n}$이 자연수가 아니므로 $1$씩 더해집니다.

$a_9=a_5+4=(k+2)+4=k+6$

[경우 2] $k\ge 2$ (즉, $a_4\le 0$)인 경우

$a_5=a_4+1=(-k+2)+1=-k+3$

마찬가지로 $n=5,6,7,8$일 때 $1$씩 더해지므로,

$a_9=a_5+4=(-k+3)+4=-k+7$

step4. $n=9$일 때의 분기 처리 및 $k$ 값 구하기

$n=9$일 때 $\sqrt{9}=3$으로 자연수입니다. 다시 $a_9>0$인지 여부에 따라 나뉩니다.

[경우 1-A] $k<2$ 이고 $a_9>0$인 경우

$a_9=k+6>0⟹k>-6$

즉, $-6<k<2$ 범위입니다.

$a_{10}=a_9-\sqrt{9}\times a_{\sqrt{9}}=a_9-3a_3$

$a_{10}=(k+6)-3(-k+1)=4k+3$

$a_{10}=-4$이므로, $4k+3=-4⟹4k=-7⟹k=-\frac{7}{4}$

이 값은 $-6<k<2$ 조건을 만족합니다.

[경우 1-B] $k<2$ 이고 $a_9\le 0$인 경우

$a_9=k+6\le 0⟹k\le -6$

$a_{10}=a_9+1=(k+6)+1=k+7$

$a_{10}=-4$이므로, $k+7=-4⟹k=-11$

이 값은 $k\le -6$ 조건을 만족합니다.

[경우 2-A] $k\ge 2$ 이고 $a_9>0$인 경우

$a_9=-k+7>0⟹k<7$

즉, $2\le k<7$ 범위입니다.

$a_{10}=a_9-3a_3=(-k+7)-3(-k+1)=2k+4$

$a_{10}=-4$이므로, $2k+4=-4⟹2k=-8⟹k=-4$

[함정경고] 여기서 구한 $k=-4$는 전제 조건인 $2\le k<7$을 만족하지 않으므로 해가 될 수 없습니다. 조건을 확인하지 않으면 오답을 낼 수 있습니다.

[경우 2-B] $k\ge 2$ 이고 $a_9\le 0$인 경우

$a_9=-k+7\le 0⟹k\ge 7$

$a_{10}=a_9+1=(-k+7)+1=-k+8$

$a_{10}=-4$이므로, $-k+8=-4⟹k=12$

이 값은 $k\ge 7$ 조건을 만족합니다.

step5. 정답 도출

조건을 만족하는 $a_1$의 값은 $-\frac{7}{4}$, $-11$, $12$입니다.

모든 $a_1$ 값의 곱은 $(-\frac{7}{4})\times (-11)\times 12=231$입니다.

[정답] 231

⚡ 실전용 풀이

step1. $a_{10}$ 구하기

$n=10,11,12,13,14$일 때 $\sqrt{n}$은 자연수가 아님

$a_{15}=a_{10}+5=1$

$a_{10}=-4$

step2. 초기항 설정

$a_1=k$

$a_2=-k$

$a_3=-k+1$

$a_4=-k+2$

step3. $n=4$일 때 분기

$\sqrt{4}=2$이므로 $a_4>0$ 여부 확인

[경우 1] $a_4>0⟺k<2$

$a_5=a_4-2a_2=(-k+2)-2(-k)=k+2$

$a_9=a_5+4=k+6$

[경우 2] $a_4\le 0⟺k\ge 2$

$a_5=a_4+1=-k+3$

$a_9=a_5+4=-k+7$

step4. $n=9$일 때 분기 및 $k$ 계산

$\sqrt{9}=3$이므로 $a_9>0$ 여부 확인

[경우 1-A] $k<2,a_9>0⟹-6<k<2$

$a_{10}=a_9-3a_3=(k+6)-3(-k+1)=4k+3=-4$

$k=-\frac{7}{4}$   --- (조건 만족)

[경우 1-B] $k<2,a_9\le 0⟹k\le -6$

$a_{10}=a_9+1=k+7=-4$

$k=-11$   --- (조건 만족)

[경우 2-A] $k\ge 2,a_9>0⟹2\le k<7$

$a_{10}=a_9-3a_3=(-k+7)-3(-k+1)=2k+4=-4$

$k=-4$   --- (조건 불만족)

[경우 2-B] $k\ge 2,a_9\le 0⟹k\ge 7$

$a_{10}=a_9+1=-k+8=-4$

$k=12$   --- (조건 만족)

step5. 정답 도출

따라서 $(-\frac{7}{4})\times (-11)\times 12=231$

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