2024년 6월 모평 (고3) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (수열의 합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

${\sum }_{k=1}^9(a{k}^2-10k)=120$ 일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마($\sum$)의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 미지수 $a$의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^9(a{k}^2-10k)=120$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 방정식을 세우고 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 분리합니다.

step2. 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 ${\sum }_{k=1}^9{k}^2$와 ${\sum }_{k=1}^{9}k$의 값을 계산합니다.

step3. 계산한 값을 식에 대입하여 $a$에 대한 일차방정식을 풀고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 성질: ${\sum }_{k=1}^n(c{a}_k+d{b}_k)=c{\sum }_{k=1}^n{a}_k+d{\sum }_{k=1}^n{b}_k$ (단, $c,d$는 상수)

- 자연수의 거듭제곱의 합 공식: ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

5. 구체적 풀이

학생 여러분, 이 문제는 시그마($\sum$) 기호의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 정확히 알고 있는지 확인하는 문제입니다.

[키포인트] 시그마 기호 안의 식은 덧셈과 뺄셈에 대해 분리할 수 있고, 상수는 시그마 기호 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 이를 이용하여 식을 간단히 정리하는 것이 핵심입니다.

step1. 시그마의 성질을 이용하여 주어진 식을 분리합니다.

주어진 식 ${\sum }_{k=1}^9(a{k}^2-10k)=120$에 시그마의 성질을 적용하면 다음과 같이 분리할 수 있습니다.

$a{\sum }_{k=1}^9{k}^2-10{\sum }_{k=1}^{9}k=120$

step2. 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 값을 계산합니다.

자연수의 합과 제곱의 합 공식은 다음과 같습니다.

${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

이 공식에 $n=9$를 대입하여 계산해 봅시다.

${\sum }_{k=1}^{9}k=\frac{9\times 10}{2}=45$

${\sum }_{k=1}^9{k}^2=\frac{9\times 10\times 19}{6}=15\times 19=285$

[함정경고] 여기서 $n$에 9를 대입해야 하는데, 무심코 10을 대입하여 계산 실수하는 경우가 많으니 주의하세요.

step3. 계산한 값을 식에 대입하여 $a$의 값을 구합니다.

step2. 에서 구한 값을 step1의 식에 대입합니다.

$a\times 285-10\times 45=120$

$285a-450=120$

$285a=570$

$a=\frac{570}{285}=2$

따라서 구하는 상수 $a$의 값은 2입니다.

[정답] 2

⚡ 실전용 풀이

step1. 시그마 성질 적용

$a{\sum }_{k=1}^9{k}^2-10{\sum }_{k=1}^{9}k=120$

step2. 거듭제곱의 합 공식 적용

${\sum }_{k=1}^{9}k=\frac{9\times 10}{2}=45$

${\sum }_{k=1}^9{k}^2=\frac{9\times 10\times 19}{6}=285$

step3. a값 계산

$285a-10(45)=120$

$285a-450=120$

$285a=570$

$a=2$

$\therefore 2$

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