2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수와 로그방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

16. 두 실수 $a,b(a<0,b>0)$에 대하여 $0\le x\le b$에서 정의된 함수 $f(x)=a\sin \frac{\pi }{b}x+a^2$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 차는 2이다. (나) $x$에 대한 방정식 $\log \{(f(x){)}^2-5\}=\log \{5f(x)-11\}$의 서로 다른 모든 실근의 합은 6이다. $a+b$의 값은? [4점] ① $\frac{5}{2}$ ② $3$ ③ $\frac{7}{2}$ ④ $4$ ⑤ $\frac{9}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 최대/최소 성질을 이용하여 미지수를 구하고, 로그방정식의 진수 조건과 실근의 합을 통해 삼각방정식의 해를 분석하는 능력을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 실수 $a,b$에 대하여 $a<0,b>0$
- 함수 $f(x)=a\sin \frac{\pi }{b}x+a^2$ ($0\le x\le b$)
- (가) 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 차는 2이다.
- (나) 방정식 $\log \{(f(x){)}^2-5\}=\log \{5f(x)-11\}$의 서로 다른 모든 실근의 합은 6이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 최대/최소 성질을 이용하여 미지수 a를 구하고, 로그방정식의 진수 조건과 실근의 합을 통해 미지수 b를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하고, 이를 통해 $a$의 값을 결정합니다.

step2. 조건 (나)의 로그방정식을 풀기 위해 진수 조건을 확인하고, $f(x)$에 대한 이차방정식을 풉니다.

step3. 진수 조건을 만족하는 $f(x)$의 값을 찾고, 삼각방정식을 풀어 실근을 구합니다.

step4. 실근의 합 조건을 이용하여 $b$의 값을 구하고, 최종적으로 $a+b$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 최대/최소: $y=A\sin (Bx)+C$ 꼴의 함수에서 사인 함수의 치역을 이용하여 최대/최솟값을 구합니다.

- 로그방정식의 진수 조건: ${\log }_{a}f(x)$가 정의되기 위해서는 진수 $f(x)>0$이어야 합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 조건 (가)를 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

함수 $f(x)=a\sin \frac{\pi }{b}x+a^2$에서 $x$의 범위가 $0\le x\le b$이므로, 각도 $\frac{\pi }{b}x$의 범위는 $0\le \frac{\pi }{b}x\le \pi$입니다.

이 구간에서 사인 함수의 값의 범위는 $0\le \sin \frac{\pi }{b}x\le 1$입니다.

문제에서 $a<0$이라고 주어졌으므로, 부등식의 각 변에 $a$를 곱하면 부등호의 방향이 바뀝니다.

$a\le a\sin \frac{\pi }{b}x\le 0$

여기에 $a^2$을 더하면 $f(x)$의 범위가 나옵니다.

$a^2+a\le f(x)\le a^2$

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $a^2$이고, 최솟값은 $a^2+a$입니다.

조건 (가)에서 최댓값과 최솟값의 차가 2라고 했으므로,

$a^2-(a^2+a)=2$

$-a=2⟹a=-2$입니다.

이를 통해 함수는 $f(x)=-2\sin \frac{\pi }{b}x+4$가 됩니다.

step2. 조건 (나)의 로그방정식을 풉니다.

[함정경고] 로그방정식을 풀 때는 반드시 진수 조건을 먼저 확인해야 합니다. 이를 놓치면 무연근을 해로 착각하기 쉽습니다.

진수 조건에 의해 $(f(x){)}^2-5>0$ 이고 $5f(x)-11>0$이어야 합니다.

$5f(x)-11>0$에서 $f(x)>\frac{11}{5}=2.2$입니다.

이때 $(f(x){)}^2-5>(2.2{)}^2-5=4.84-5=-0.16$이므로, $f(x)>\sqrt{5}\approx 2.236$이어야 두 조건을 모두 만족합니다.

이제 로그방정식의 진수끼리 같다고 놓습니다.

$(f(x){)}^2-5=5f(x)-11$

$(f(x){)}^2-5f(x)+6=0$

$(f(x)-2)(f(x)-3)=0$

따라서 $f(x)=2$ 또는 $f(x)=3$입니다.

진수 조건 $f(x)>\frac{11}{5}$에 의해 $f(x)=2$는 버리고, $f(x)=3$만 해가 됩니다.

step3. 삼각방정식을 풀어 실근을 구합니다.

[키포인트] $f(x)=3$을 만족하는 $x$의 값을 삼각함수의 대칭성을 이용하여 구하는 것이 핵심입니다.

$f(x)=-2\sin \frac{\pi }{b}x+4=3$

$-2\sin \frac{\pi }{b}x=-1$

$\sin \frac{\pi }{b}x=\frac{1}{2}$

$0\le \frac{\pi }{b}x\le \pi$ 범위에서 사인 값이 $\frac{1}{2}$이 되는 각도는 $\frac{\pi }{6}$와 $\frac{5\pi }{6}$입니다.

따라서 $\frac{\pi }{b}x=\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{\pi }{b}x=\frac{5\pi }{6}$입니다.

이를 $x$에 대해 풀면 $x=\frac{b}{6}$ 또는 $x=\frac{5b}{6}$입니다.

step4. 실근의 합 조건을 이용하여 $b$를 구하고 정답을 도출합니다.

조건 (나)에서 서로 다른 모든 실근의 합이 6이라고 했습니다.

$\frac{b}{6}+\frac{5b}{6}=6$

$\frac{6b}{6}=6⟹b=6$입니다.

따라서 $a=-2,b=6$이므로 $a+b=-2+6=4$입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. a 구하기

$0\le \frac{\pi }{b}x\le \pi$ 이므로 $0\le \sin \frac{\pi }{b}x\le 1$

$a<0$ 이므로 $a\le a\sin \frac{\pi }{b}x\le 0$

$a^2+a\le f(x)\le a^2$

최댓값 - 최솟값 = $a^2-(a^2+a)=-a=2$

$\therefore a=-2$

$f(x)=-2\sin \frac{\pi }{b}x+4$

step2. 로그방정식 풀이

진수 조건: $5f(x)-11>0⟹f(x)>\frac{11}{5}$

$(f(x){)}^2-5=5f(x)-11$

$(f(x){)}^2-5f(x)+6=0$

$(f(x)-2)(f(x)-3)=0$

$f(x)=3$   --- (진수 조건에 의해 $f(x)=2$는 제외)

step3. 삼각방정식 풀이

$-2\sin \frac{\pi }{b}x+4=3$

$\sin \frac{\pi }{b}x=\frac{1}{2}$

$\frac{\pi }{b}x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

$x=\frac{b}{6},\frac{5b}{6}$

step4. b 구하기

$\frac{b}{6}+\frac{5b}{6}=6$

$b=6$

$\therefore a+b=-2+6=4$

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