2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

15. ${\log }_{|x+1|}\{(n-x)(n+1+x)\}$가 정의되도록 하는 정수 $x$의 개수가 25 일 때, 자연수 $n$의 값은? [4점] ① 13 ② 14 ③ 15 ④ 16 ⑤ 17

1. 문제의 요지

이 문제는 로그가 정의되기 위한 밑의 조건과 진수의 조건을 이용하여 부등식을 세우고, 이를 만족하는 정수 $x$의 개수를 통해 미지수 $n$을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 로그식: ${\log }_{|x+1|}\{(n-x)(n+1+x)\}$
- 로그가 정의되도록 하는 정수 $x$의 개수가 25개
- $n$은 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 밑 조건과 진수 조건을 각각 구하여 공통 범위를 찾고, 그 안의 정수 개수를 세는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그의 밑 조건을 이용하여 $x$가 가질 수 없는 정수 값을 찾습니다.

step2. 로그의 진수 조건을 이용하여 $x$의 범위를 $n$에 대한 부등식으로 나타냅니다.

step3. 진수 조건을 만족하는 정수 $x$의 총 개수를 $n$에 대한 식으로 표현합니다.

step4. 총 개수에서 밑 조건에 의해 제외되는 정수의 개수를 빼서 실제 조건을 만족하는 정수 $x$의 개수 식을 세웁니다.

step5. 문제에 주어진 개수 25와 식을 같다고 놓고 자연수 $n$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의 조건: 로그 ${\log }_{a}b$가 정의되기 위해서는 밑 $a>0,a\ne 1$ 이어야 하고, 진수 $b>0$ 이어야 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그가 정의되기 위해서는 밑과 진수의 조건을 모두 만족해야 합니다. 밑은 1이 아닌 양수, 진수는 양수라는 조건을 부등식으로 세우는 것이 핵심입니다.

step1. 로그의 밑 조건을 확인합니다.

밑은 $|x+1|$ 이므로, $|x+1|>0$ 이고 $|x+1|\ne 1$ 이어야 합니다.

$|x+1|>0$ 에서 $x+1\ne 0$ 이므로 $x\ne -1$ 입니다.

$|x+1|\ne 1$ 에서 $x+1\ne 1$ 이고 $x+1\ne -1$ 이므로 $x\ne 0$ 이고 $x\ne -2$ 입니다.

따라서 정수 $x$는 $-2,-1,0$ 이 될 수 없습니다.

step2. 로그의 진수 조건을 확인합니다.

진수는 $(n-x)(n+1+x)$ 이므로, $(n-x)(n+1+x)>0$ 이어야 합니다.

양변에 $-1$을 곱하면 $(x-n)(x+n+1)<0$ 이 됩니다.

이 이차부등식을 풀면 $-(n+1)<x<n$ 이 됩니다.

step3. 진수 조건을 만족하는 정수 $x$의 개수를 구합니다.

부등식 $-(n+1)<x<n$ 을 만족하는 정수 $x$의 범위는 $-n\le x\le n-1$ 입니다.

이 범위에 속하는 정수의 총 개수는 $(n-1)-(-n)+1=2n$ 개입니다.

step4. 조건을 만족하는 정수 $x$의 개수 식을 세웁니다.

[함정경고] 진수 조건을 만족하는 정수 개수에서 밑 조건에 의해 제외되는 정수들을 빼먹지 않도록 주의해야 합니다.

자연수 $n$에 대하여, $n\ge 2$ 일 때 범위 $-n\le x\le n-1$ 안에는 항상 $-2,-1,0$ 이 포함됩니다.

따라서 조건을 만족하는 정수 $x$의 개수는 전체 $2n$ 개에서 $-2,-1,0$ 의 3개를 제외한 $2n-3$ 개가 됩니다.

step5. 자연수 $n$의 값을 구합니다.

문제에서 조건을 만족하는 정수 $x$의 개수가 25개라고 하였으므로,

$2n-3=25$

$2n=28$

$n=14$

따라서 자연수 $n$의 값은 14입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑 조건

$|x+1|>0⟹x\ne -1$

$|x+1|\ne 1⟹x\ne 0,x\ne -2$

$\therefore x\ne -2,-1,0$

step2. 진수 조건

$(n-x)(n+1+x)>0$

$(x-n)(x+n+1)<0$

$-(n+1)<x<n$

step3. 정수 $x$의 개수

$-n\le x\le n-1$

총 개수: $(n-1)-(-n)+1=2n$

step4. 조건 만족 개수

$n\ge 2$일 때, $-2,-1,0$이 항상 포함되므로

$2n-3$

step5. $n$ 계산

$2n-3=25$

$2n=28$

$n=14$

$\therefore 14$

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