2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 18번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 18번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 상수 $a(a>1)$에 대하여 두 곡선 $y=a^{ax}$과 $y=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$이 있다. 곡선 $y=a^{ax}$ 위의 점과 $x$좌표가 $\frac{1}{a}$보다 큰 점 A에 대하여 점 A를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 곡선 $y=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$과 만나는 점을 B라 하자. 곡선 $y=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$이 $x$축과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 곡선 $y=a^{ax}$과 만나는 점을 D라 하자. 점 A의 $x$좌표와 점 D의 $x$좌표의 차가 $\frac{1}{a}$이고 직선 AD가 원점을 지날 때, 사각형 ABCD의 넓이는? [4점] ① $\frac{35}{8}$ ② $5$ ③ $\frac{45}{8}$ ④ $\frac{25}{4}$ ⑤ $\frac{55}{8}$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수와 로그함수의 역함수 관계 및 평행이동을 파악하고, 기울기가 -1인 직선의 성질을 이용하여 교점의 좌표를 구한 뒤 사각형의 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 상수 $a>1$
- 곡선 1: $y=a^{ax}$
- 곡선 2: $y=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$
- 점 A: 곡선 1 위의 점, $x$좌표 $>\frac{1}{a}$
- 점 B: 점 A를 지나고 기울기가 $-1$인 직선과 곡선 2의 교점
- 점 C: 곡선 2와 $x$축의 교점
- 점 D: 점 C를 지나고 기울기가 $-1$인 직선과 곡선 1의 교점
- 점 A의 $x$좌표 - 점 D의 $x$좌표 = $\frac{1}{a}$
- 직선 AD는 원점(0,0)을 지남

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수와 로그함수의 역함수 관계 및 평행이동을 이용하여 교점의 좌표를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 곡선의 관계를 파악하여 역함수와 평행이동 관계를 찾습니다.

step2. 곡선 2의 $x$절편인 점 C의 좌표를 구합니다.

step3. 기울기가 -1인 직선의 성질과 평행이동 관계를 이용하여 점 D의 좌표를 구합니다.

step4. 주어진 $x$좌표 차이 조건을 이용하여 점 A의 좌표를 구합니다.

step5. 세 점 O, D, A가 한 직선 위에 있다는 조건을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

step6. $a$의 값을 대입하여 네 점 A, B, C, D의 좌표를 확정합니다.

step7. 사다리꼴의 넓이 공식을 이용하여 사각형 ABCD의 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 역함수 관계: $y=a^x$와 $y={\log }_{a}x$는 $y=x$에 대하여 대칭이다.

- 평행이동: 함수 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $m$, $y$축 방향으로 $n$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y-n=f(x-m)$이다.

- 기울기가 -1인 직선의 성질: $y=x$에 대칭인 두 점을 이은 직선의 기울기는 -1이다.

- 세 점이 한 직선 위에 있을 조건: 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 선분 AB의 기울기와 선분 BC의 기울기가 같다.

- 사다리꼴의 넓이: $\frac{1}{2}\times (\text{윗변}+\text{아랫변})\times \text{높이}$

5. 구체적 풀이

step1. 두 곡선의 관계를 파악합니다.

곡선 1: $y=a^{ax}$ 의 역함수를 구해보면, $x=a^{ay}$ 에서 $ay={\log }_{a}x$ 이므로 $y=\frac{1}{a}{\log }_{a}x$ 입니다.

곡선 2: $y=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$ 는 $y=\frac{1}{a}{\log }_{a}x$ 의 그래프를 $x$축 방향으로 $\frac{1}{a}$만큼, $y$축 방향으로 $-\frac{1}{a}$만큼 평행이동한 것입니다.

[키포인트] 즉, 곡선 1 위의 점 $(x,y)$를 $y=x$에 대칭이동한 점 $(y,x)$를 $x$축으로 $\frac{1}{a}$, $y$축으로 $-\frac{1}{a}$ 평행이동하면 곡선 2 위의 점 $(y+\frac{1}{a},x-\frac{1}{a})$가 됩니다.

이 두 점을 이은 직선의 기울기는 $\frac{(x-\frac{1}{a})-y}{(y+\frac{1}{a})-x}=\frac{x-y-\frac{1}{a}}{-(x-y-\frac{1}{a})}=-1$ 입니다.

step2. 점 C의 좌표를 구합니다.

점 C는 곡선 2의 $x$절편이므로 $y=0$을 대입합니다.

$0=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$

${\log }_a(x-\frac{1}{a})=1$

$x-\frac{1}{a}=a\Rightarrow x=a+\frac{1}{a}$

따라서 $C(a+\frac{1}{a},0)$ 입니다.

step3. 점 D의 좌표를 구합니다.

점 D는 점 C를 지나고 기울기가 -1인 직선과 곡선 1의 교점입니다.

step1. 에서 확인했듯이, 곡선 1 위의 점 $D(x_D,y_D)$에 대응하는 곡선 2 위의 점은 $(y_D+\frac{1}{a},x_D-\frac{1}{a})$ 이며, 이 두 점을 이은 직선의 기울기는 -1입니다.

따라서 점 C가 바로 점 D에 대응하는 점입니다.

$y_D+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}\Rightarrow y_D=a$

$x_D-\frac{1}{a}=0\Rightarrow x_D=\frac{1}{a}$

따라서 $D(\frac{1}{a},a)$ 입니다.

step4. 점 A의 좌표를 구합니다.

점 A의 $x$좌표와 점 D의 $x$좌표의 차가 $\frac{1}{a}$이고, 점 A의 $x$좌표가 더 크므로

$x_A-x_D=\frac{1}{a}\Rightarrow x_A-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\Rightarrow x_A=\frac{2}{a}$

점 A는 곡선 1 위의 점이므로 $y_A=a^{a·\frac{2}{a}}=a^2$ 입니다.

따라서 $A(\frac{2}{a},a^2)$ 입니다.

step5. 상수 $a$의 값을 구합니다.

직선 AD가 원점 $O(0,0)$을 지나므로, 선분 OD의 기울기와 선분 OA의 기울기가 같습니다.

$\frac{a-0}{\frac{1}{a}-0}=\frac{a^2-0}{\frac{2}{a}-0}$

$a^2=\frac{a^3}{2}\Rightarrow 2a^2=a^3$

$a>1$ 이므로 양변을 $a^2$으로 나누면 $a=2$ 입니다.

step6. 네 점의 좌표를 확정합니다.

$a=2$를 대입하면,

$A(1,4)$

$D(\frac{1}{2},2)$

$C(\frac{5}{2},0)$

점 B는 점 A에 대응하는 곡선 2 위의 점이므로 $B(y_A+\frac{1}{a},x_A-\frac{1}{a})=(4+\frac{1}{2},1-\frac{1}{2})=(\frac{9}{2},\frac{1}{2})$ 입니다.

step7. 사각형 ABCD의 넓이를 구합니다.

선분 AB와 선분 CD는 기울기가 -1인 직선의 일부이므로 서로 평행합니다. 따라서 사각형 ABCD는 사다리꼴입니다.

[함정경고] 사각형의 넓이를 구할 때, 평행한 두 변을 밑변으로 설정하고 높이를 정확히 구해야 합니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하는 것이 좋습니다.

선분 AB의 길이: $\sqrt{(\frac{9}{2}-1{)}^2+(\frac{1}{2}-4{)}^2}=\sqrt{(\frac{7}{2}{)}^2+(-\frac{7}{2}{)}^2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$

선분 CD의 길이: $\sqrt{(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$

직선 CD의 방정식은 $y-0=-1(x-\frac{5}{2})\Rightarrow x+y-\frac{5}{2}=0$ 입니다.

사다리꼴의 높이 $h$는 점 $A(1,4)$와 직선 CD 사이의 거리와 같습니다.

$h=\frac{|1+4-\frac{5}{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$

따라서 사각형 ABCD의 넓이 $S$는

$S=\frac{1}{2}\times (AB+CD)\times h=\frac{1}{2}\times (\frac{7\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2})\times \frac{5\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{11\sqrt{2}}{2}\times \frac{5\sqrt{2}}{4}=\frac{55}{8}$ 입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 두 곡선의 관계

$y=a^{ax}\stackrel{\text{역함수}}{\to }y=\frac{1}{a}{\log }_{a}x$

$y=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}$ 는 $x$축 $\frac{1}{a}$, $y$축 $-\frac{1}{a}$ 평행이동

step2. 점 C

$0=\frac{1}{a}{\log }_a(x-\frac{1}{a})-\frac{1}{a}\Rightarrow x=a+\frac{1}{a}\Rightarrow C(a+\frac{1}{a},0)$

step3. 점 D

$D(x_D,y_D)\to (y_D+\frac{1}{a},x_D-\frac{1}{a})=C(a+\frac{1}{a},0)$

$y_D=a,x_D=\frac{1}{a}\Rightarrow D(\frac{1}{a},a)$

step4. 점 A

$x_A-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\Rightarrow x_A=\frac{2}{a}\Rightarrow A(\frac{2}{a},a^2)$

step5. a 구하기

$\frac{a}{\frac{1}{a}}=\frac{a^2}{\frac{2}{a}}\Rightarrow a^2=\frac{a^3}{2}\Rightarrow a=2$

step6. 좌표 확정

$A(1,4),D(\frac{1}{2},2),C(\frac{5}{2},0),B(\frac{9}{2},\frac{1}{2})$

step7. 넓이

$AB=\sqrt{(\frac{7}{2}{)}^2+(-\frac{7}{2}{)}^2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$

$CD=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$

$h=\frac{|1+4-\frac{5}{2}|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$

$S=\frac{1}{2}(\frac{7\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2})\frac{5\sqrt{2}}{4}=\frac{55}{8}$

$\therefore ⑤$

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