2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 길이가 6인 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $AB$ 위에 점 $C$를 $\cos (\angle CAB)=\frac{1}{3}$이 되도록 잡고, 선분 $AB$ 위에 점 $D$를 $\overline{AC}=\overline{DB}$가 되도록 잡는다. 점 $B$를 지나고 선분 $CD$와 평행한 직선이 호 $AB$와 만나는 점 중 $B$가 아닌 점을 $E$라 할 때, 선분 $CE$의 길이는? [4점] ① $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ② $\frac{5}{44}\sqrt{33}$ ③ $\frac{3}{22}\sqrt{33}$ ④ $\frac{7}{44}\sqrt{33}$ ⑤ $\frac{2}{11}\sqrt{33}$

1. 문제의 요지

이 문제는 코사인법칙과 사인법칙, 그리고 평행선의 성질을 이용하여 원에 내접하는 사각형과 삼각형의 변의 길이를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 선분 AB는 반원의 지름
- AB = 6
- 점 C는 호 AB 위의 점
- $\cos (\angle CAB)=\frac{1}{3}$
- 점 D는 선분 AB 위의 점
- $\overline{AC}=\overline{DB}$
- 직선 BE는 선분 CD와 평행 ($CD\parallel BE$)
- 점 E는 호 AB 위의 점

3. 풀이의 순서

이 문제는 직각삼각형의 성질, 코사인법칙, 평행선의 엇각, 원주각, 사인법칙을 차례대로 적용하여 변의 길이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 직각삼각형 ABC에서 $\overline{AC}$와 $\overline{BC}$의 길이를 구하고, 조건에 따라 $\overline{AD}$의 길이를 구합니다.

step2. 삼각형 ACD에서 코사인법칙을 이용하여 $\overline{CD}$의 길이를 구합니다.

step3. 평행선의 엇각 성질과 원주각의 성질을 이용하여 $\angle CAE=\angle BCD$임을 알아냅니다.

step4. 삼각형 BCD에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos (\angle BCD)$를 구하고, 이를 통해 $\sin (\angle BCD)$를 구합니다.

step5. 삼각형 ACE에서 사인법칙을 이용하여 선분 CE의 길이를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 원주각의 성질: 반원에 대한 원주각은 ${90}^{\circ }$이며, 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다.

- 코사인법칙: 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.

- 평행선의 성질: 두 평행선이 다른 한 직선과 만날 때, 엇각의 크기는 같습니다.

- 사인법칙: 삼각형의 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 평행선 조건($CD\parallel BE$)을 엇각으로 해석하여 각의 크기를 옮기고, 원주각의 성질을 이용하여 구하고자 하는 현 CE에 대한 원주각을 찾아내는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 직각삼각형 ABC에서 $\overline{AC}$와 $\overline{BC}$의 길이를 구하고, 조건에 따라 $\overline{AD}$의 길이를 구합니다.

선분 $AB$가 반원의 지름이므로 원주각의 성질에 의해 $\angle ACB={90}^{\circ }$입니다.

직각삼각형 $ABC$에서 $\cos (\angle CAB)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{1}{3}$이고 $\overline{AB}=6$이므로,

$\overline{AC}=6\times \frac{1}{3}=2$입니다.

피타고라스 정리에 의해 $\overline{BC}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$입니다.

또한, $\sin (\angle CAB)=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$입니다.

조건에서 $\overline{AC}=\overline{DB}$이므로 $\overline{DB}=2$입니다.

따라서 $\overline{AD}=\overline{AB}-\overline{DB}=6-2=4$입니다.

step2. 삼각형 ACD에서 코사인법칙을 이용하여 $\overline{CD}$의 길이를 구합니다.

삼각형 $ACD$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{CD}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AD}}^2-2·\overline{AC}·\overline{AD}·\cos (\angle CAB)$

${\overline{CD}}^2=2^2+4^2-2·2·4·\frac{1}{3}=4+16-\frac{16}{3}=\frac{44}{3}$

따라서 $\overline{CD}=\sqrt{\frac{44}{3}}=\frac{2\sqrt{33}}{3}$입니다.

step3. 평행선의 엇각 성질과 원주각의 성질을 이용하여 $\angle CAE=\angle BCD$임을 알아냅니다.

조건에서 $CD\parallel BE$이므로, 선분 $BC$를 가로지르는 선으로 생각할 때 평행선의 성질에 의해 엇각의 크기가 같습니다.

즉, $\angle BCD=\angle CBE$입니다.

또한, 호 $CE$에 대한 원주각의 성질에 의해 $\angle CAE=\angle CBE$입니다.

따라서 $\angle CAE=\angle BCD$가 성립합니다.

step4. 삼각형 BCD에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos (\angle BCD)$를 구하고, 이를 통해 $\sin (\angle BCD)$를 구합니다.

삼각형 $BCD$에서 세 변의 길이는 $\overline{BC}=4\sqrt{2}$, $\overline{CD}=\frac{2\sqrt{33}}{3}$, $\overline{BD}=2$입니다.

코사인법칙을 적용하여 $\cos (\angle BCD)$를 구합니다.

$\cos (\angle BCD)=\frac{{\overline{BC}}^2+{\overline{CD}}^2-{\overline{BD}}^2}{2·\overline{BC}·\overline{CD}}$

$\cos (\angle BCD)=\frac{(4\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{33}}{3}\right)}^2-2^2}{2·4\sqrt{2}·\frac{2\sqrt{33}}{3}}=\frac{32+\frac{44}{3}-4}{\frac{16\sqrt{66}}{3}}=\frac{\frac{128}{3}}{\frac{16\sqrt{66}}{3}}=\frac{128}{16\sqrt{66}}=\frac{8}{\sqrt{66}}$

[함정경고] 여기서 분수와 근호가 섞인 복잡한 계산이 나오므로, 약분과 통분 과정에서 실수가 없도록 주의해야 합니다.

이제 ${\sin }^2(\angle BCD)+{\cos }^2(\angle BCD)=1$을 이용하여 $\sin (\angle BCD)$를 구합니다.

$\sin (\angle BCD)=\sqrt{1-{\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{64}{66}}=\sqrt{\frac{2}{66}}=\frac{1}{\sqrt{33}}$

step5. 삼각형 ACE에서 사인법칙을 이용하여 선분 CE의 길이를 도출합니다.

삼각형 $ACE$는 지름이 6인 원에 내접하므로, 사인법칙에 의해 다음이 성립합니다.

$\frac{\overline{CE}}{\sin (\angle CAE)}=2R=6$

앞서 $\angle CAE=\angle BCD$임을 확인했으므로, $\sin (\angle CAE)=\sin (\angle BCD)=\frac{1}{\sqrt{33}}$입니다.

따라서 $\overline{CE}=6·\sin (\angle CAE)=6·\frac{1}{\sqrt{33}}=\frac{6\sqrt{33}}{33}=\frac{2\sqrt{33}}{11}$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 선분 길이

$\overline{AC}=6\times \frac{1}{3}=2$

$\overline{DB}=2(\because \overline{AC}=\overline{DB})$

$\overline{AD}=6-2=4$

$\overline{BC}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$

step2. CD 길이

${\overline{CD}}^2=2^2+4^2-2(2)(4)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{44}{3}$

$\overline{CD}=\frac{2\sqrt{33}}{3}$

step3. 각도 이동

$\angle BCD=\angle CBE(\because CD\parallel BE,엇각)$

$\angle CAE=\angle CBE(\because 호CE에대한원주각)$

$\therefore \angle CAE=\angle BCD$

step4. BCD 각도 계산

$\cos (\angle BCD)=\frac{(4\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{33}}{3}\right)}^2-2^2}{2(4\sqrt{2})\left(\frac{2\sqrt{33}}{3}\right)}=\frac{8}{\sqrt{66}}$

$\sin (\angle BCD)=\sqrt{1-\frac{64}{66}}=\frac{1}{\sqrt{33}}$

step5. CE 길이

$\frac{\overline{CE}}{\sin (\angle CAE)}=6(\because 사인법칙)$

$\overline{CE}=6\times \frac{1}{\sqrt{33}}=\frac{2\sqrt{33}}{11}$

$\therefore 정답⑤$

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