2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 24번
문제의 분류	고등학교 (로그부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

부등식 ${\log }_2(x-1)<5$ 를 만족시키는 모든 자연수 $x$ 의 개수를 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 진수 조건과 로그부등식의 성질을 이용하여 부등식을 만족하는 자연수 해의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식: ${\log }_2(x-1)<5$
- $x$는 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 확인한 후, 밑을 통일하여 로그부등식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그의 진수 조건을 이용하여 $x$의 범위를 구합니다.

step2. 로그부등식을 지수 형태로 변환하거나 밑을 통일하여 $x$의 범위를 구합니다.

step3. step1과 step2에서 구한 공통 범위를 만족하는 자연수 $x$의 개수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건: ${\log }_a(N)$ 에서 진수 $N>0$ 이어야 한다.

- 로그부등식의 성질: 밑 $a>1$ 일 때, ${\log }_a(f(x))<{\log }_a(g(x))⟺0<f(x)<g(x)$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 로그부등식을 풀 때는 항상 가장 먼저 '진수 조건'을 확인해야 합니다. 진수 조건을 빠뜨리면 오답이 나올 수 있습니다.

step1. 로그의 진수 조건을 확인합니다.

주어진 부등식 ${\log }_2(x-1)<5$ 에서 진수는 $x-1$ 입니다.

로그가 정의되려면 진수가 0보다 커야 하므로,

$x-1>0$

$\therefore x>1$ $\cdots$ (1)

step2. 로그부등식을 풉니다.

우변의 5를 밑이 2인 로그로 바꿉니다.

$5={\log }_2(2^5)={\log }_2(32)$

따라서 주어진 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\log }_2(x-1)<{\log }_2(32)$

밑이 2로 1보다 크므로, 진수끼리 비교할 때 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.

$x-1<32$

$\therefore x<33$ $\cdots$ (2)

step3. 공통 범위를 구하고 자연수 $x$의 개수를 찾습니다.

(1)과 (2)의 공통 범위를 구하면,

$1<x<33$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $x$가 자연수라는 조건을 놓치고 단순히 $33-1=32$개로 착각하기 쉽습니다. 부등호에 등호가 없으므로 양 끝값은 포함되지 않습니다.

이 범위를 만족하는 자연수 $x$는 2, 3, 4, $\dots$, 32 입니다.

따라서 자연수 $x$의 개수는 $32-2+1=31$ 개입니다.

[정답] 31

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$x-1>0$

$x>1\cdots (1)$

step2. 로그부등식 풀이

${\log }_2(x-1)<5$

${\log }_2(x-1)<{\log }_2(2^5)$

$x-1<32$   --- (밑이 1보다 크므로 부등호 방향 유지)

$x<33\cdots (2)$

step3. 공통 범위 및 개수

(1), (2)에 의해

$1<x<33$

만족하는 자연수 $x$는 $2,3,\dots ,32$

개수 = $32-2+1=31$

$\therefore 31$

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