2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 26번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

양수 $k$에 대하여 좌표평면에서 점 $A(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}},\frac{k}{\sqrt{k^2+1}})$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점을 B라 하고, 두 동경 OA, OB가 나타내는 각의 크기를 각각 $\alpha ,\beta$라 하자. $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}$ 일 때, $k^2$의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, $x$축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 좌표평면 위의 점의 좌표를 이용하여 삼각함수의 값을 구하고, 대칭이동에 따른 좌표 변화를 통해 삼각함수 사이의 관계를 파악하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 양수 $k$
- 점 $A(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}},\frac{k}{\sqrt{k^2+1}})$
- 점 B는 점 A를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점
- 동경 OA가 나타내는 각의 크기: $\alpha$
- 동경 OB가 나타내는 각의 크기: $\beta$
- $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}$
- O는 원점, $x$축의 양의 방향이 시초선

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 정의와 직선 $y=x$에 대한 대칭이동의 성질을 이용하여 식을 세우고 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 A의 좌표를 이용하여 $\cos \alpha$의 값을 구합니다.

step2. 점 A를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표를 구하고, 이를 이용하여 $\sin \beta$의 값을 구합니다.

step3. 주어진 조건식 $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}$에 대입하여 $k^2$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 정의: 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r$인 원 위의 점 $P(x,y)$에 대하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta =\frac{x}{r}$, $\sin \theta =\frac{y}{r}$ 이다.

- 직선 $y=x$에 대한 대칭이동: 점 $(x,y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(y,x)$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 좌표평면 위의 점의 좌표가 주어졌을 때, 원점과의 거리를 구하여 삼각함수의 정의를 적용하는 것이 핵심입니다.

step1. 점 A의 좌표를 이용하여 $\cos \alpha$의 값을 구합니다.

점 $A(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}},\frac{k}{\sqrt{k^2+1}})$와 원점 O 사이의 거리 $OA$를 구해보면,

$OA=\sqrt{{(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})}^2+{\left(\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{k^2+1}+\frac{k^2}{k^2+1}}=\sqrt{\frac{k^2+1}{k^2+1}}=1$ 입니다.

즉, 점 A는 반지름의 길이가 1인 단위원 위의 점입니다.

동경 OA가 나타내는 각의 크기가 $\alpha$이므로, 삼각함수의 정의에 의해 $\cos \alpha$는 점 A의 $x$좌표와 같습니다.

$\therefore \cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

step2. 점 A를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 B의 좌표를 구하고, 이를 이용하여 $\sin \beta$의 값을 구합니다.

점 B는 점 A를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점이므로, $x$좌표와 $y$좌표가 서로 바뀝니다.

따라서 점 B의 좌표는 $(\frac{k}{\sqrt{k^2+1}},-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})$ 입니다.

점 B 역시 단위원 위의 점이고, 동경 OB가 나타내는 각의 크기가 $\beta$이므로, 삼각함수의 정의에 의해 $\sin \beta$는 점 B의 $y$좌표와 같습니다.

$\therefore \sin \beta =-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

[함정경고] 점 B의 좌표를 구한 후, $\sin \beta$를 구할 때 $x$좌표와 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. $\sin$은 $y$좌표와 관련이 있습니다.

step3. 주어진 조건식 $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}$에 대입하여 $k^2$의 값을 계산합니다.

앞서 구한 $\cos \alpha$와 $\sin \beta$의 값을 주어진 식에 대입하면,

$(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})\times (-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{k^2+1}=\frac{1}{3}$

분모끼리 같아야 하므로,

$k^2+1=3$

$\therefore k^2=2$

[정답] 2

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A와 $\cos \alpha$

$OA=\sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}{)}^2+(\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}{)}^2}=1$

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$   --- (삼각함수의 정의)

step2. 점 B와 $\sin \beta$

$B(\frac{k}{\sqrt{k^2+1}},-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})$   --- ($y=x$ 대칭)

$\sin \beta =-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

step3. $k^2$ 계산

$\cos \alpha \sin \beta =(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})(-\frac{1}{\sqrt{k^2+1}})=\frac{1}{k^2+1}$

$\frac{1}{k^2+1}=\frac{1}{3}$

$k^2+1=3$

$\therefore k^2=2$

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