2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 28번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 28번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

자연수 $k$에 대하여 두 곡선 $y=(\frac{1}{2}{)}^{x-k-2}$, $y=(\frac{1}{2}{)}^{x-k}-2$와 직선 $y=k$가 있다. 자연수 $n$에 대하여 직선 $x=n$이 두 곡선 $y=(\frac{1}{2}{)}^{x-k-2}$, $y=(\frac{1}{2}{)}^{x-k}-2$와 만나는 점을 각각 A, B라 할 때 선분 AB가 직선 $y=k$와 만나도록 하는 $n$의 최댓값과 최솟값의 합을 $f(k)$라 하자. $f(k)=15$를 만족시키는 $k$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 그래프와 직선의 교점 관계를 부등식으로 표현하고, 이를 만족하는 자연수 $n$의 범위를 구하여 $f(k)$를 정의한 후, 주어진 조건을 만족하는 $k$를 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $k$는 자연수
- 곡선 1: $y=(\frac{1}{2}{)}^{x-k-2}$
- 곡선 2: $y=(\frac{1}{2}{)}^{x-k}-2$
- 직선: $y=k$
- $n$은 자연수
- 직선 $x=n$이 곡선 1과 만나는 점 A의 $y$좌표: $y_A=(\frac{1}{2}{)}^{n-k-2}$
- 직선 $x=n$이 곡선 2와 만나는 점 B의 $y$좌표: $y_B=(\frac{1}{2}{)}^{n-k}-2$
- 선분 AB가 직선 $y=k$와 만남
- $f(k)$ = 조건을 만족하는 $n$의 최댓값과 최솟값의 합
- $f(k)=15$

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 지수함수의 함숫값 사이에 직선 $y=k$가 존재할 조건을 부등식으로 세워 $n$의 범위를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 직선 $x=n$과 두 곡선이 만나는 점 A, B의 $y$좌표를 구하고 대소 관계를 파악합니다.

step2. 선분 AB가 직선 $y=k$와 만나기 위한 부등식을 세웁니다.

step3. 부등식을 정리하여 $2^n$에 대한 범위를 $k$로 나타냅니다.

step4. $k$에 자연수를 대입하며 조건을 만족하는 $n$의 최댓값과 최솟값을 구하고, $f(k)=15$가 되는 $k$를 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$

- 부등식의 성질: $a\le b\le c$ 일 때, $a\le b$ 이고 $b\le c$ 이다.

5. 구체적 풀이

step1. 직선 $x=n$과 두 곡선이 만나는 점 A, B의 $y$좌표를 구하고 대소 관계를 파악합니다.

점 A의 $y$좌표는 $y_A=(\frac{1}{2}{)}^{n-k-2}=4·(\frac{1}{2}{)}^{n-k}$ 입니다.

점 B의 $y$좌표는 $y_B=(\frac{1}{2}{)}^{n-k}-2$ 입니다.

모든 실수 $x$에 대하여 $4·(\frac{1}{2}{)}^{x-k}>(\frac{1}{2}{)}^{x-k}-2$ 이므로, 항상 $y_A>y_B$ 가 성립합니다.

step2. 선분 AB가 직선 $y=k$와 만나기 위한 부등식을 세웁니다.

[키포인트] 선분 AB가 직선 $y=k$와 만나려면, 점 A와 점 B의 $y$좌표 사이에 $k$가 있어야 합니다.

즉, $y_B\le k\le y_A$ 이어야 합니다.

이를 식으로 나타내면 $(\frac{1}{2}{)}^{n-k}-2\le k\le 4·(\frac{1}{2}{)}^{n-k}$ 입니다.

step3. 부등식을 정리하여 $2^n$에 대한 범위를 $k$로 나타냅니다.

위 부등식을 두 부분으로 나누어 풉니다.

첫째, $k\le 4·(\frac{1}{2}{)}^{n-k}$ 에서 양변을 4로 나누면 $\frac{k}{4}\le (\frac{1}{2}{)}^{n-k}$ 입니다.

역수를 취하면 부등호 방향이 바뀌므로 $\frac{4}{k}\ge 2^{n-k}$ 가 되고, 양변에 $2^k$를 곱하면 $2^n\le \frac{4·2^k}{k}=\frac{2^{k+2}}{k}$ 가 됩니다.

둘째, $(\frac{1}{2}{)}^{n-k}-2\le k$ 에서 2를 이항하면 $(\frac{1}{2}{)}^{n-k}\le k+2$ 입니다.

마찬가지로 역수를 취하면 $2^{n-k}\ge \frac{1}{k+2}$ 가 되고, 양변에 $2^k$를 곱하면 $2^n\ge \frac{2^k}{k+2}$ 가 됩니다.

따라서 $n$이 만족해야 하는 조건은 $\frac{2^k}{k+2}\le 2^n\le \frac{2^{k+2}}{k}$ 입니다.

step4. $k$에 자연수를 대입하며 조건을 만족하는 $n$의 최댓값과 최솟값을 구하고, $f(k)=15$가 되는 $k$를 찾습니다.

[함정경고] $n$은 자연수이므로, 부등식을 만족하는 $2^n$의 값은 2의 거듭제곱수(2, 4, 8, 16, ...)만 가능함을 놓치기 쉽습니다.

$k=8$ 일 때: $\frac{256}{10}\le 2^n\le \frac{1024}{8}⟹25.6\le 2^n\le 128$

이를 만족하는 $2^n$은 $32,64,128$ 이므로 $n=5,6,7$ 입니다. $f(8)=5+7=12\ne 15$

$k=9$ 일 때: $\frac{512}{11}\le 2^n\le \frac{2048}{9}⟹46.5...\le 2^n\le 227.5...$

이를 만족하는 $2^n$은 $64,128$ 이므로 $n=6,7$ 입니다. $f(9)=6+7=13\ne 15$

$k=10$ 일 때: $\frac{1024}{12}\le 2^n\le \frac{4096}{10}⟹85.3...\le 2^n\le 409.6$

이를 만족하는 $2^n$은 $128,256$ 이므로 $n=7,8$ 입니다. $f(10)=7+8=15$

따라서 조건을 만족하는 $k$의 값은 10입니다.

[정답] 10

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A, B의 y좌표

$y_A=(\frac{1}{2}{)}^{n-k-2}=4·2^{k-n}$

$y_B=(\frac{1}{2}{)}^{n-k}-2=2^{k-n}-2$

$y_A>y_B$

step2. 선분 AB가 y=k와 만날 조건

$y_B\le k\le y_A$

$2^{k-n}-2\le k\le 4·2^{k-n}$

step3. 부등식 정리

$k\le 4·2^{k-n}⟹2^{n-k}\le \frac{4}{k}⟹2^n\le \frac{2^{k+2}}{k}$

$2^{k-n}-2\le k⟹2^{k-n}\le k+2⟹2^{n-k}\ge \frac{1}{k+2}⟹2^n\ge \frac{2^k}{k+2}$

$\therefore \frac{2^k}{k+2}\le 2^n\le \frac{2^{k+2}}{k}$

step4. k값 대입

$k=8:25.6\le 2^n\le 128⟹n=5,6,7⟹f(8)=12$

$k=9:46.5\le 2^n\le 227.5⟹n=6,7⟹f(9)=13$

$k=10:85.3\le 2^n\le 409.6⟹n=7,8⟹f(10)=15$

$\therefore 10$

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