2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 22번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 22번
문제의 분류	고등학교 (지수와 로그)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

22. $\sqrt[6]{{25}^2}\times \sqrt[3]{5^4}$ 의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근의 성질과 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 계산할 식: $\sqrt[6]{{25}^2}\times \sqrt[3]{5^4}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근을 분수 지수로 변환하고 지수법칙을 적용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 밑을 소수인 5로 통일합니다.

step2. 거듭제곱근을 분수 형태의 지수로 변환합니다.

step3. 지수법칙을 이용하여 두 식을 곱하고 최종 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 분수 지수 변환: $a>0$ 이고 $m,n$ 이 정수($n\ge 2$)일 때, $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ 이다.

- 지수법칙 (곱셈): $a>0$ 이고 $x,y$ 가 실수일 때, $a^x\times a^y=a^{x+y}$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱근이 포함된 곱셈은 밑을 같게 만든 후, 지수를 분수 형태로 바꾸어 지수법칙을 적용하면 쉽게 계산할 수 있습니다.

step1. 밑을 소수인 5로 통일합니다.

주어진 식의 첫 번째 항에서 밑이 25입니다. $25=5^2$ 이므로 이를 대입합니다.

${25}^2=(5^2{)}^2=5^4$

따라서 첫 번째 항은 $\sqrt[6]{5^4}$ 가 됩니다.

step2. 거듭제곱근을 분수 형태의 지수로 변환합니다.

거듭제곱근의 성질 $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ 을 이용합니다.

첫 번째 항: $\sqrt[6]{5^4}=5^{\frac{4}{6}}=5^{\frac{2}{3}}$

두 번째 항: $\sqrt[3]{5^4}=5^{\frac{4}{3}}$

step3. 지수법칙을 이용하여 두 식을 곱하고 최종 값을 계산합니다.

이제 두 항을 곱합니다.

$5^{\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{4}{3}}$

[함정경고] 지수끼리 곱할 때, 밑이 같으면 지수끼리는 더해야 합니다. 지수끼리 곱하는 실수를 하지 않도록 주의하세요.

지수법칙 $a^x\times a^y=a^{x+y}$ 에 따라 지수끼리 더합니다.

$5^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}=5^{\frac{6}{3}}=5^2$

마지막으로 $5^2$ 을 계산하면 25가 됩니다.

[정답] 25

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑 통일

$\sqrt[6]{{25}^2}\times \sqrt[3]{5^4}$

$=\sqrt[6]{(5^2{)}^2}\times \sqrt[3]{5^4}$

$=\sqrt[6]{5^4}\times \sqrt[3]{5^4}$

step2. 분수 지수로 변환

$=5^{\frac{4}{6}}\times 5^{\frac{4}{3}}$

$=5^{\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{4}{3}}$

step3. 지수법칙 적용

$=5^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}$   --- (밑이 같으므로 지수끼리 덧셈)

$=5^{\frac{6}{3}}$

$=5^2$

$=25$

$\therefore 25$

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