2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 방정식)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

7 이하의 두 자연수 $m,n$에 대하여 함수 $f(x)=|2^m\cos x-2^n|$이 있다. $0\le x\le 2\pi$에서 방정식 ${f(x)}^2-(2^5+2^4)f(x)+2^9=0$의 서로 다른 실근의 개수가 6이 되도록 하는 $m,n$의 모든 순서쌍 $(m,n)$의 개수는? [4점] ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 이차방정식을 풀어 $f(x)$의 값을 구하고, 삼각함수의 그래프를 이용하여 실근의 개수 조건을 만족하는 $m,n$의 조건을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $m,n$은 7 이하의 자연수
- $f(x)=|2^m\cos x-2^n|$
- $0\le x\le 2\pi$
- ${f(x)}^2-(2^5+2^4)f(x)+2^9=0$의 서로 다른 실근의 개수가 6

3. 풀이의 순서

이 문제는 주어진 이차방정식을 인수분해하여 $f(x)$의 값을 구하고, 삼각방정식의 실근의 개수를 분석하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 $f(x)$에 대한 이차방정식을 인수분해하여 $f(x)$가 가질 수 있는 값을 구합니다.

step2. $f(x)$의 정의를 대입하여 $\cos x$에 대한 4개의 방정식을 도출합니다.

step3. $0\le x\le 2\pi$ 범위에서 $\cos x=k$의 실근의 개수 조건을 확인합니다.

step4. 4개의 방정식에서 나오는 실근의 총합이 6개가 되도록 하는 $m,n$의 부등식 조건을 세우고, 이를 만족하는 자연수 순서쌍을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각방정식의 실근의 개수: $0\le x\le 2\pi$에서 방정식 $\cos x=k$의 실근의 개수는 $k>1$ 또는 $k<-1$일 때 0개, $k=1$일 때 2개($x=0,2\pi$), $k=-1$일 때 1개($x=\pi$), $-1<k<1$일 때 2개이다.

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 방정식 ${f(x)}^2-(2^5+2^4)f(x)+2^9=0$을 풀어봅시다.

$2^5=32$, $2^4=16$, $2^9=512$이므로 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${f(x)}^2-48f(x)+512=0$

$(f(x)-16)(f(x)-32)=0$

따라서 $f(x)=16$ 또는 $f(x)=32$입니다.

step2. $f(x)=|2^m\cos x-2^n|$이므로,

$|2^m\cos x-2^n|=16$ 또는 $|2^m\cos x-2^n|=32$입니다.

절댓값을 풀면 다음과 같은 4개의 방정식을 얻습니다.

$2^m\cos x-2^n=16⟹\cos x=\frac{2^n+16}{2^m}\cdots$ (1)

$2^m\cos x-2^n=-16⟹\cos x=\frac{2^n-16}{2^m}\cdots$ (2)

$2^m\cos x-2^n=32⟹\cos x=\frac{2^n+32}{2^m}\cdots$ (3)

$2^m\cos x-2^n=-32⟹\cos x=\frac{2^n-32}{2^m}\cdots$ (4)

step3. [키포인트]** $0\le x\le 2\pi$에서 $\cos x=k$의 실근의 개수는 $k$의 값에 따라 다음과 같습니다.

- $k>1$ 또는 $k<-1$ : 0개

- $k=1$ : 2개 ($x=0,2\pi$)

- $k=-1$ : 1개 ($x=\pi$)

- $-1<k<1$ : 2개

[함정경고] $0\le x\le 2\pi$ 범위에서 양 끝점이 모두 포함되므로 $\cos x=1$의 해는 $x=0$ 하나가 아니라 $x=0,2\pi$로 2개임을 놓치기 쉽습니다.

step4. 위 4개의 방정식의 우변을 각각 $k_1,k_2,k_3,k_4$라 하면, 크기 순서는 $k_3>k_1>k_2>k_4$입니다.

실근의 총 개수가 6개가 되려면, 각 방정식에서 나오는 실근의 개수의 합이 6이어야 합니다.

가장 큰 $k_3$부터 실근의 개수를 확인해봅시다.

만약 $k_3\le 1$이라면, $k_1,k_2,k_4$도 모두 1보다 작아지며, $k_4\ge -1$일 경우 실근의 개수는 최소 $2+2+2+1=7$개가 되어 6개를 초과합니다.

따라서 $k_3>1$이어야 하며, 이때 (3)번 방정식의 실근은 0개입니다.

남은 (1), (2), (4)번 방정식에서 실근이 총 6개가 나오려면, 각각 2개씩 실근을 가져야 합니다.

즉, $k_1\le 1$이고 $k_4>-1$이어야 합니다.

- $k_1\le 1⟹\frac{2^n+16}{2^m}\le 1⟹2^n+16\le 2^m$

- $k_3>1⟹\frac{2^n+32}{2^m}>1⟹2^n+32>2^m$

- $k_4>-1⟹\frac{2^n-32}{2^m}>-1⟹2^n+2^m>32$

위 부등식들을 종합하면 $2^n+16\le 2^m<2^n+32$입니다.

$m,n$은 7 이하의 자연수이므로 $n$에 1부터 대입하여 $m$을 찾아봅시다.

- $n=1$일 때: $18\le 2^m<34⟹m=5$

- $n=2$일 때: $20\le 2^m<36⟹m=5$

- $n=3$일 때: $24\le 2^m<40⟹m=5$

- $n=4$일 때: $32\le 2^m<48⟹m=5$

- $n=5$일 때: $48\le 2^m<64⟹$ 만족하는 자연수 $m$ 없음

$m=5$일 때 $2^n+2^m>32$ 조건도 모두 만족합니다. ($2^n+32>32$이므로 항상 성립)

따라서 조건을 만족하는 순서쌍 $(m,n)$은 $(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)$로 총 4개입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 이차방정식 풀이

${f(x)}^2-48f(x)+512=0$

$(f(x)-16)(f(x)-32)=0$

$f(x)=16\text{ or }32$

step2. 코사인 방정식 도출

$|2^m\cos x-2^n|=16\text{ or }32$

$\cos x=\frac{2^n\pm 16}{2^m}\text{ or }\frac{2^n\pm 32}{2^m}$

step3. 실근 개수 조건

$k_3=\frac{2^n+32}{2^m}>k_1=\frac{2^n+16}{2^m}>k_2=\frac{2^n-16}{2^m}>k_4=\frac{2^n-32}{2^m}$

총 실근 6개이려면 $0+2+2+2$ 구조여야 함.

step4. 부등식 풀이

$k_3>1⟹2^n+32>2^m$

$k_1\le 1⟹2^n+16\le 2^m$

$k_4>-1⟹2^n+2^m>32$

$\therefore 2^n+16\le 2^m<2^n+32$

$n=1⟹18\le 2^m<34⟹m=5$

$n=2⟹20\le 2^m<36⟹m=5$

$n=3⟹24\le 2^m<40⟹m=5$

$n=4⟹32\le 2^m<48⟹m=5$

$n=5⟹48\le 2^m<64⟹\text{없음}$

$\therefore 정답:4$

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