2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 중복조합)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

두 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$, $Y=\{1,2,3,4\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to Y$의 개수는? [3점] (가) $f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$ (나) 1과 3은 함수 $f$의 치역의 원소이다. ① 18 ② 20 ③ 22 ④ 24 ⑤ 26

1. 문제의 요지

이 문제는 중복조합을 이용하여 크기가 정해진 함수의 개수를 구하고, 포함-배제의 원리 또는 여사건을 활용하여 특정 원소가 치역에 포함될 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 정의역 $X=\{1,2,3,4,5\}$
- 공역 $Y=\{1,2,3,4\}$
- 조건 (가): $f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$
- 조건 (나): 1과 3은 함수 $f$의 치역의 원소이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 중복조합과 여사건을 이용하여 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 만족하는 전체 함수의 개수를 중복조합을 이용하여 구합니다.

step2. 조건 (나)의 여사건을 정의하고, 치역에 1이 없는 경우와 3이 없는 경우의 수를 각각 구합니다.

step3. 치역에 1과 3이 모두 없는 경우의 수를 구하여 포함-배제의 원리로 여사건의 경우의 수를 계산합니다.

step4. 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 중복조합: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 조합의 수 ${}_n{H}_r={}_{n+r-1}{C}_r$이다. 크기가 정해진(단조 증가 또는 단조 감소) 함수의 개수를 구할 때 사용된다.

- 여사건의 확률(경우의 수): 어떤 사건 $A$가 일어날 경우의 수는 전체 경우의 수에서 $A$가 일어나지 않을 경우의 수를 빼서 구한다. '적어도 하나', '~가 모두 포함' 등의 조건이 있을 때 유용하다.

- 포함-배제의 원리: 두 집합 $A,B$에 대하여 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (가)와 같이 함숫값의 크기 순서가 정해져 있고 등호가 포함된 경우, 중복조합을 사용하여 함수의 개수를 구합니다. 또한 조건 (나)처럼 특정 원소가 반드시 포함되어야 하는 경우, 여사건을 활용하면 계산이 훨씬 수월해집니다.

step1. 조건 (가)를 만족하는 전체 함수의 개수 구하기

조건 (가) $f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$를 만족하려면, 공역 $Y=\{1,2,3,4\}$의 4개의 원소 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택하기만 하면 됩니다. 선택된 5개의 수를 크기순으로 나열하여 $f(1)$부터 $f(5)$까지 차례대로 대응시키면 되기 때문입니다.

따라서 조건 (가)를 만족하는 전체 함수의 개수는 중복조합 ${}_4{H}_5$입니다.

${}_4{H}_5={}_{4+5-1}{C}_5={}_8{C}_5=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$가지입니다.

step2. 여사건 정의 및 각각의 경우의 수 구하기

조건 (나)는 '1과 3이 모두 치역에 포함된다'입니다.

이것의 여사건은 '1이 치역에 포함되지 않거나 3이 치역에 포함되지 않는다'입니다.

- 사건 $A$: 치역에 1이 포함되지 않는 경우

공역에서 1을 제외한 $\{2,3,4\}$의 3개 원소 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택하면 됩니다.

$n(A)={}_3{H}_5={}_{3+5-1}{C}_5={}_7{C}_5=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$가지입니다.

- 사건 $B$: 치역에 3이 포함되지 않는 경우

공역에서 3을 제외한 $\{1,2,4\}$의 3개 원소 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택하면 됩니다.

$n(B)={}_3{H}_5=21$가지입니다.

step3. 교집합의 경우의 수 구하기 및 포함-배제의 원리 적용

[함정경고] 사건 $A$와 사건 $B$를 단순히 더하기만 하면, 1과 3이 모두 포함되지 않는 경우가 두 번 중복해서 세어지므로 반드시 교집합을 빼주어야 합니다.

- 사건 $A\cap B$: 치역에 1과 3이 모두 포함되지 않는 경우

공역에서 1과 3을 제외한 $\{2,4\}$의 2개 원소 중에서 중복을 허락하여 5개를 선택하면 됩니다.

$n(A\cap B)={}_2{H}_5={}_{2+5-1}{C}_5={}_6{C}_5=6$가지입니다.

따라서 여사건의 경우의 수는 포함-배제의 원리에 의해 다음과 같습니다.

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+21-6=36$가지입니다.

step4. 정답 도출

우리가 구하고자 하는 조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 함수의 개수는 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 뺀 값입니다.

$56-36=20$가지입니다.

따라서 정답은 20이므로 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 함수의 개수

전체 경우의 수 = ${}_4{H}_5={}_8{C}_5=56$

step2. 여사건의 경우의 수

$A$: 치역에 1이 없는 경우

$n(A)={}_3{H}_5={}_7{C}_5=21$

$B$: 치역에 3이 없는 경우

$n(B)={}_3{H}_5=21$

step3. 교집합 및 포함-배제

$A\cap B$: 치역에 1, 3이 모두 없는 경우

$n(A\cap B)={}_2{H}_5={}_6{C}_5=6$

$n(A\cup B)=21+21-6=36$

step4. 정답 도출

구하는 경우의 수 = $56-36=20$

$\therefore 20$

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