2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 원순열)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

1부터 7까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 7개의 의자가 있다. 이 7개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. [4점] (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 6이 적힌 의자와 이웃한 2개의 의자에 적힌 두 수의 합은 9이다. (나) 7이 적힌 의자와 이웃하지 않은 4개의 의자에 적힌 네 수의 곱은 12의 배수이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 원순열의 기본 성질을 이해하고, 주어진 조건에 따라 경우를 나누어 배열하는 경우의 수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 1부터 7까지의 자연수가 적힌 7개의 의자
- 원형 배열 (회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 봄)
- (가) 6과 이웃한 두 수의 합은 9
- (나) 7과 이웃하지 않은 네 수의 곱은 12의 배수

3. 풀이의 순서

이 문제는 원순열의 성질을 이용하여 특정한 하나를 고정하고, 조건에 따라 경우를 나누어 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 원순열이므로 6이 적힌 의자를 고정하고, 조건 (가)를 만족하는 6의 이웃 두 수를 결정하여 두 가지 경우로 나눕니다.

step2. 첫 번째 경우(6의 이웃이 2, 7)에 대해 조건 (나)를 만족하도록 남은 수들을 배열하는 경우의 수를 구합니다.

step3. 두 번째 경우(6의 이웃이 4, 5)에 대해 7의 위치를 기준으로 세분화하여 조건 (나)를 만족하는 경우의 수를 구합니다.

step4. 구한 두 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 원순열: 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n-1)!$이다. 특정한 하나를 고정하면 나머지 자리는 직순열과 같이 취급할 수 있다.

- 합의 법칙: 두 사건 $A,B$가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어나는 경우의 수는 (사건 $A$의 경우의 수) + (사건 $B$의 경우의 수)이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 원순열 문제에서는 특정한 한 명(또는 한 개)을 고정하여 직순열처럼 생각하는 것이 핵심입니다. 이 문제에서는 조건이 가장 많이 걸려있는 '6'을 고정하고 시작하는 것이 좋습니다.

step1. 6을 고정하고 이웃한 두 수 결정하기

원순열이므로 6이 적힌 의자를 한 자리에 고정합니다. 이렇게 하면 회전하여 일치하는 경우를 더 이상 고려하지 않아도 됩니다.

조건 (가)에서 6과 이웃한 두 수의 합이 9라고 했습니다.

1부터 7까지의 수 중 합이 9가 되는 두 수의 쌍은 $(2,7)$과 $(4,5)$뿐입니다.

따라서 경우를 두 가지로 나누어 생각할 수 있습니다.

step2. Case 1: 6과 이웃한 두 수가 2, 7인 경우

6의 양옆에 2와 7을 배열하는 방법은 2가지입니다. (예: 2-6-7 또는 7-6-2)

이제 남은 수는 1, 3, 4, 5입니다.

[함정경고] 7과 이웃하지 않은 4개의 수를 찾을 때, 7 자신도 제외해야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다. 전체 7개 중 7과 7의 양옆 2개를 제외한 4개가 맞습니다.

조건 (나)에서 7과 이웃하지 않은 4개의 수의 곱이 12의 배수여야 합니다.

현재 7의 한쪽 이웃은 6이고, 다른 한쪽 이웃을 $x$라고 합시다. ($x$는 1, 3, 4, 5 중 하나)

7과 이웃하지 않은 4개의 수는 2와 남은 3개의 수입니다.

이 4개의 수의 곱이 12의 배수이려면, $2\times (남은3개의수의곱)$이 12의 배수, 즉 남은 3개의 수의 곱이 6의 배수여야 합니다.

{1, 3, 4, 5} 중 3개를 뽑아 곱이 6의 배수가 되려면 3과 4가 반드시 포함되어야 합니다.

- 3이 없으면 곱은 $1\times 4\times 5=20$ (6의 배수 아님)

- 4가 없으면 곱은 $1\times 3\times 5=15$ (6의 배수 아님)

따라서 남은 3개의 수는 {1, 3, 4} 또는 {3, 4, 5}여야 하므로, 제외된 $x$는 5 또는 1이 되어야 합니다.

- $x=5$인 경우: 7의 이웃으로 5를 배치(1가지)하고, 남은 세 자리에 1, 3, 4를 배열($3!=6$가지). $\to 1\times 6=6$가지

- $x=1$인 경우: 7의 이웃으로 1을 배치(1가지)하고, 남은 세 자리에 3, 4, 5를 배열($3!=6$가지). $\to 1\times 6=6$가지

따라서 Case 1의 총 경우의 수는 $2\times (6+6)=24$가지입니다.

step3. Case 2: 6과 이웃한 두 수가 4, 5인 경우

6의 양옆에 4와 5를 배열하는 방법은 2가지입니다. (예: 4-6-5 또는 5-6-4)

남은 수는 1, 2, 3, 7입니다.

7의 위치에 따라 7과 이웃하지 않은 4개의 수가 달라지므로, 7이 들어갈 4개의 빈 자리를 기준으로 나눕니다.

배열 형태를 4 - 6 - 5 - (자리1) - (자리2) - (자리3) - (자리4) - 4 라고 합시다.

① 7이 (자리1)에 있는 경우 (5와 이웃)

7과 이웃하지 않은 4개의 수는 4, 6, (자리3), (자리4)입니다.

이들의 곱은 $4\times 6\times (자리3)\times (자리4)=24\times (자리3)\times (자리4)$이므로 항상 12의 배수입니다.

남은 1, 2, 3을 배열하는 경우의 수는 $3!=6$가지입니다.

② 7이 (자리2)에 있는 경우

7과 이웃하지 않은 4개의 수는 4, 5, 6, (자리4)입니다.

이들의 곱은 $4\times 5\times 6\times (자리4)=120\times (자리4)$이므로 항상 12의 배수입니다.

남은 1, 2, 3을 배열하는 경우의 수는 $3!=6$가지입니다.

③ 7이 (자리3)에 있는 경우

7과 이웃하지 않은 4개의 수는 4, 5, 6, (자리1)입니다.

이들의 곱은 $120\times (자리1)$이므로 항상 12의 배수입니다.

남은 1, 2, 3을 배열하는 경우의 수는 $3!=6$가지입니다.

④ 7이 (자리4)에 있는 경우 (4와 이웃)

7과 이웃하지 않은 4개의 수는 5, 6, (자리1), (자리2)입니다.

이들의 곱은 $5\times 6\times (자리1)\times (자리2)=30\times (자리1)\times (자리2)$입니다.

이 값이 12의 배수이려면 $(자리1)\times (자리2)$가 짝수여야 합니다.

남은 수 1, 2, 3 중 2가 반드시 (자리1)이나 (자리2)에 포함되어야 하므로, 전체 $3!$가지 중 2가 (자리3)에 들어가는 2가지를 제외하면 $6-2=4$가지입니다.

따라서 4-6-5 순서일 때 경우의 수는 $6+6+6+4=22$가지입니다.

5-6-4 순서일 때도 대칭적으로 22가지이므로,

Case 2의 총 경우의 수는 $2\times 22=44$가지입니다.

step4. 최종 정답 도출

Case 1과 Case 2의 경우의 수를 더하면 $24+44=68$가지입니다.

[정답] 68

⚡ 실전용 풀이

step1. 6 고정 및 이웃 결정

6 고정   --- 원순열 $\to$ 직순열화

6의 이웃 두 수의 합 = 9

가능한 쌍: $(2,7),(4,5)$

step2. Case 1: 6의 이웃이 2, 7

배열: $2-6-7$ 또는 $7-6-2$   --- 2가지

남은 수: $1,3,4,5$

7의 이웃: 6, $x$

7과 이웃하지 않은 4개의 수: 2, 그리고 남은 3개

곱 $=2\times (남은3개의곱)=12k$

$\therefore$ 남은 3개의 곱은 6의 배수

가능한 3개의 수: $\{1,3,4\},\{3,4,5\}$

$\to x=5$ 또는 $1$

$x=5$ 일 때: $1\times 3!=6$

$x=1$ 일 때: $1\times 3!=6$

Case 1 경우의 수 $=2\times (6+6)=24$

step3. Case 2: 6의 이웃이 4, 5

배열: $4-6-5$ 또는 $5-6-4$   --- 2가지

남은 수: $1,2,3,7$

빈 자리: $4-6-5-(1)-(2)-(3)-(4)-4$

① 7이 (1)에 위치: 곱 $=4\times 6\times (3)\times (4)=24k$ (항상 성립) $\to 3!=6$

② 7이 (2)에 위치: 곱 $=4\times 5\times 6\times (4)=120k$ (항상 성립) $\to 3!=6$

③ 7이 (3)에 위치: 곱 $=4\times 5\times 6\times (1)=120k$ (항상 성립) $\to 3!=6$

④ 7이 (4)에 위치: 곱 $=5\times 6\times (1)\times (2)=30\times (1)\times (2)$

$\to (1)\times (2)$가 짝수여야 함   --- 2 포함

$\to 3!-2=4$

Case 2 경우의 수 $=2\times (6+6+6+4)=44$

step4. 최종 정답

$\therefore 24+44=68$

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