2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 이항정리)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

25. $(2x^2+1{)}^4(x-\frac{1}{2x})$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [3점] ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리를 이용하여 두 다항식의 곱으로 이루어진 식에서 특정 차수의 항의 계수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 주어진 식: $(2x^2+1{)}^4(x-\frac{1}{2x})$
- 구해야 할 것: 전개식에서 $x^5$의 계수

3. 풀이의 순서

이 문제는 이항정리를 이용하여 각 부분에서 필요한 차수의 항을 찾아 계수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $(2x^2+1{)}^4$의 일반항을 이항정리를 이용하여 구합니다.

step2. 주어진 식을 두 부분으로 나누어 전개하고, 각 부분에서 $x^5$ 항이 나오기 위한 조건을 찾습니다.

step3. 각 조건에 맞는 $r$ 값을 구하고, 해당 항의 계수를 계산하여 더합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리: $(a+b{)}^n$의 전개식에서 일반항은 ${}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$ (단, $r=0,1,\dots ,n$)이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이 문제는 이항정리를 이용하여 $(2x^2+1{)}^4$의 일반항을 구한 뒤, 뒤에 곱해진 $(x-\frac{1}{2x})$의 각 항과 곱해져서 $x^5$이 되는 경우를 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. $(2x^2+1{)}^4$의 일반항 구하기

이항정리에 의해 $(2x^2+1{)}^4$의 전개식에서 일반항은 다음과 같습니다.

${}_4{C}_r(2x^2{)}^{4-r}(1{)}^r{=}_4{C}_r{2}^{4-r}{x}^{8-2r}$ (단, $r=0,1,2,3,4$)

step2. $x^5$ 항이 나오는 경우 찾기

주어진 식은 $(2x^2+1{)}^4(x-\frac{1}{2x})$ 이므로, 이를 분배법칙을 이용하여 두 부분으로 나누어 생각할 수 있습니다.

$(2x^2+1{)}^4\times x-(2x^2+1{)}^4\times \frac{1}{2x}$

[함정경고] 뒤에 곱해진 식의 두 번째 항이 $-\frac{1}{2x}$이므로, 부호와 계수 $\frac{1}{2}$을 빠뜨리지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 각 경우의 계수 계산하기

첫 번째 부분: $(2x^2+1{)}^4\times x$ 에서 $x^5$ 항이 나오려면, $(2x^2+1{)}^4$ 에서 $x^4$ 항이 나와야 합니다.

일반항의 차수가 $8-2r=4$ 가 되어야 하므로, $2r=4$ 에서 $r=2$ 입니다.

이때의 계수는 ${}_4{C}_2\times 2^{4-2}=6\times 4=24$ 입니다.

따라서 첫 번째 부분에서 $x^5$의 계수는 $24$ 입니다.

두 번째 부분: $-(2x^2+1{)}^4\times \frac{1}{2x}$ 에서 $x^5$ 항이 나오려면, $(2x^2+1{)}^4$ 에서 $x^6$ 항이 나와야 합니다. ($x^6\times \frac{1}{x}=x^5$ 이기 때문입니다.)

일반항의 차수가 $8-2r=6$ 이 되어야 하므로, $2r=2$ 에서 $r=1$ 입니다.

이때 $(2x^2+1{)}^4$ 에서 $x^6$ 항의 계수는 ${}_4{C}_1\times 2^{4-1}=4\times 8=32$ 입니다.

따라서 두 번째 부분에서 $x^5$의 계수는 $32\times (-\frac{1}{2})=-16$ 입니다.

최종적으로 $x^5$의 계수는 두 부분에서 구한 계수의 합이므로,

$24+(-16)=8$ 입니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 구하기

$(2x^2+1{)}^4$의 일반항: ${}_4{C}_r(2x^2{)}^{4-r}(1{)}^r{=}_4{C}_r{2}^{4-r}{x}^{8-2r}$

step2. $x^5$ 항 조건 찾기

$(2x^2+1{)}^4(x-\frac{1}{2x})=(2x^2+1{)}^4·x-(2x^2+1{)}^4·\frac{1}{2x}$

step3. 계수 계산

1) $(2x^2+1{)}^4·x$ 에서 $x^5$ 항

--- $8-2r=4⟹r=2$

${}_4{C}_2·2^2=6·4=24$

2) $-(2x^2+1{)}^4·\frac{1}{2x}$ 에서 $x^5$ 항

--- $8-2r=6⟹r=1$

${}_4{C}_1·2^3·(-\frac{1}{2})=4·8·(-\frac{1}{2})=-16$

따라서 $24-16=8$

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