2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 27번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 경우의 수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적혀 있는 카드가 각각 5장씩 있다. 이 20장의 카드 중에서 5장을 택해 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 나열한 5장의 카드에 적힌 수의 곱은 96이다. (나) 오른쪽 끝에 놓인 카드에 적힌 수는 짝수이다. ① 48 ② 50 ③ 52 ④ 54 ⑤ 56

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 곱의 조건을 만족하는 숫자 조합을 찾고, 같은 것이 있는 순열을 이용하여 나열하는 경우의 수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 숫자 1, 2, 3, 4가 적힌 카드가 각각 5장씩 있음
- 5장을 택해 일렬로 나열함
- 같은 숫자가 적힌 카드는 구별하지 않음
- (가) 5장의 카드에 적힌 수의 곱은 96
- (나) 오른쪽 끝에 놓인 카드에 적힌 수는 짝수

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건을 만족하는 숫자의 조합을 먼저 찾고, 각 조합에 대해 같은 것이 있는 순열을 이용하여 나열하는 경우의 수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 5장의 카드에 적힌 수의 조합을 찾습니다.

step2. 찾은 각 조합에 대해 조건 (나)를 만족하도록 나열하는 경우의 수를 계산합니다.

step3. 모든 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 소인수분해: 자연수를 소수들의 곱으로 나타내는 방법입니다. 곱이 주어진 경우 가능한 수의 조합을 찾을 때 유용합니다.

- 같은 것이 있는 순열: $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, ... 있을 때, 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!q!...}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 조건을 만족하는 숫자의 조합을 먼저 찾고, 각 조합에 대해 같은 것이 있는 순열을 이용하여 나열하는 경우의 수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

[키포인트] 곱이 96이 되는 5개의 숫자의 조합을 찾기 위해 96을 소인수분해하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 5장의 카드에 적힌 수의 조합을 찾습니다.

5장의 카드에 적힌 수를 각각 $a,b,c,d,e$라고 하면, 조건 (가)에 의해 $a\times b\times c\times d\times e=96$입니다.

사용할 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4입니다.

$96$을 소인수분해하면 $96=2^5\times 3$입니다.

따라서 5개의 숫자 중 3은 반드시 1개 포함되어야 합니다.

나머지 4개의 숫자의 곱은 $96÷3=32$가 되어야 합니다.

사용 가능한 숫자는 1, 2, 4이고, 이들 4개의 숫자를 곱하여 32가 되는 조합을 찾아야 합니다.

- 4가 2개인 경우: $4\times 4=16$이므로 남은 두 수의 곱은 2가 되어야 합니다. 따라서 1과 2가 필요합니다. 조합은 {1, 2, 4, 4}입니다.

- 4가 1개인 경우: 남은 세 수의 곱은 8이 되어야 합니다. 따라서 2가 3개 필요합니다. 조합은 {2, 2, 2, 4}입니다.

- 4가 0개인 경우: 2만으로 32를 만들려면 2가 5개 필요하지만, 숫자는 4개만 선택해야 하므로 불가능합니다.

따라서 5개의 숫자의 조합은 다음과 같이 두 가지 경우가 있습니다.

경우 1: {1, 2, 3, 4, 4}

경우 2: {2, 2, 2, 3, 4}

step2. 찾은 각 조합에 대해 조건 (나)를 만족하도록 나열하는 경우의 수를 계산합니다.

조건 (나)에 의해 오른쪽 끝에 놓인 카드는 짝수(2 또는 4)여야 합니다.

[함정경고] 오른쪽 끝에 숫자를 고정시킨 후, 남은 숫자들을 나열할 때 같은 숫자가 여러 개 있는 경우 반드시 '같은 것이 있는 순열' 공식을 적용해야 합니다. 이를 놓치고 단순 순열로 계산하기 쉽습니다.

(1) 경우 1: {1, 2, 3, 4, 4}일 때

- 오른쪽 끝이 2인 경우: 남은 숫자 {1, 3, 4, 4}를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{2!}=12$가지입니다.

- 오른쪽 끝이 4인 경우: 남은 숫자 {1, 2, 3, 4}를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4!=24$가지입니다.

따라서 경우 1의 총 경우의 수는 $12+24=36$가지입니다.

(2) 경우 2: {2, 2, 2, 3, 4}일 때

- 오른쪽 끝이 2인 경우: 남은 숫자 {2, 2, 3, 4}를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{2!}=12$가지입니다.

- 오른쪽 끝이 4인 경우: 남은 숫자 {2, 2, 2, 3}을 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{4!}{3!}=4$가지입니다.

따라서 경우 2의 총 경우의 수는 $12+4=16$가지입니다.

step3. 모든 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

전체 경우의 수는 $36+16=52$가지입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 숫자 조합 찾기

$96=2^5\times 3$

사용 가능 숫자: 1, 2, 3, 4

3은 1개 필수, 나머지 4개 숫자의 곱 = 32

조합 1: {1, 2, 3, 4, 4}

조합 2: {2, 2, 2, 3, 4}

step2. 경우의 수 계산

조합 1: {1, 2, 3, 4, 4}

- 끝이 2: $\frac{4!}{2!}=12$

- 끝이 4: $4!=24$

합계 = 36

조합 2: {2, 2, 2, 3, 4}

- 끝이 2: $\frac{4!}{2!}=12$

- 끝이 4: $\frac{4!}{3!}=4$

합계 = 16

step3. 총합

$36+16=52$

$\therefore 정답③$

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