2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 29번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 원순열)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

학생 A를 포함한 4명의 2학년 학생과 학생 B를 포함한 4명의 3학년 학생이 있다. 이 8명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) 각 학생은 자신과 이웃한 두 학생 중 적어도 한 명과 같은 학년이다. (나) A와 B는 이웃하지 않는다.

1. 문제의 요지

이 문제는 조건을 만족하는 배치를 2명씩 묶음으로 모델링하여 원순열을 적용하고, 여사건을 이용하여 특정 조건이 배제된 경우의 수를 구하는 능력을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 2학년 학생 4명 (A 포함)
- 3학년 학생 4명 (B 포함)
- 총 8명이 원탁에 둘러앉음
- (가) 각 학생은 자신과 이웃한 두 학생 중 적어도 한 명과 같은 학년이다.
- (나) A와 B는 이웃하지 않는다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)를 분석하여 학생들을 2명씩 묶음으로 나누는 아이디어를 도출하고, 여사건을 활용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 만족하는 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. 조건 (나)의 여사건인 'A와 B가 이웃하는 경우의 수'를 구합니다.

step3. 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 원순열: 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n-1)!$ 이다.

- 여사건의 경우의 수: (조건을 만족하는 경우의 수) = (전체 경우의 수) - (조건을 만족하지 않는 경우의 수)

5. 구체적 풀이

[키포인트]

조건 (가) "각 학생은 자신과 이웃한 두 학생 중 적어도 한 명과 같은 학년이다"의 의미를 파악하는 것이 핵심입니다.

이 조건은 혼자 고립되는 학생이 없어야 한다는 뜻이므로, 같은 학년 4명은 4명이 모두 붙어 앉거나, 2명씩 두 그룹으로 나뉘어 앉아야 합니다.

이는 결국 각 학년 4명을 2명씩 두 묶음으로 나누어 총 4개의 묶음을 원탁에 배열하는 것과 완벽히 일치합니다! (4명이 붙어 앉는 경우는 같은 학년 두 묶음이 이웃하게 배열되는 경우로 자연스럽게 포함됩니다.)

step1. 전체 경우의 수 구하기 (조건 (가)만 만족하는 경우)

1) 2학년 4명을 2명씩 두 묶음으로 나누는 방법의 수:

$\frac{{}_4{C}_2{\times }_2{C}_2}{2!}=\frac{6\times 1}{2}=3$가지

(쉽게 생각하면, A와 같은 묶음이 될 1명을 고르는 방법 ${}_3{C}_1=3$가지와 같습니다.)

2) 3학년 4명을 2명씩 두 묶음으로 나누는 방법의 수:

마찬가지로 $\frac{{}_4{C}_2{\times }_2{C}_2}{2!}=3$가지

3) 만들어진 총 4개의 묶음을 원탁에 배열하는 방법의 수:

원순열이므로 $(4-1)!=3!=6$가지

4) 각 묶음 안에서 2명의 학생이 서로 자리를 바꾸는 방법의 수:

4개의 묶음이 각각 자리를 바꿀 수 있으므로 $2^4=16$가지

따라서 조건 (가)를 만족하는 전체 경우의 수는 $3\times 3\times 6\times 16=864$가지입니다.

step2. A와 B가 이웃하는 경우의 수 구하기 (여사건)

조건 (나)에 의해 A와 B는 이웃하면 안 되므로, 전체 경우에서 A와 B가 이웃하는 경우를 빼줍니다.

A와 B가 이웃하려면, A가 포함된 묶음과 B가 포함된 묶음이 서로 이웃해야 하고, 그 두 묶음이 만나는 경계에 A와 B가 나란히 앉아야 합니다.

1) A가 포함된 묶음과 B가 포함된 묶음을 정하는 방법:

A의 짝꿍을 고르는 방법 3가지 $\times$ B의 짝꿍을 고르는 방법 3가지 = 9가지

2) 4개의 묶음 중 A묶음과 B묶음이 이웃하도록 원탁에 배열하는 방법:

A묶음과 B묶음을 하나로 묶어 총 3개의 묶음을 원탁에 배열하는 원순열: $(3-1)!=2$가지

A묶음과 B묶음의 위치를 서로 바꾸는 방법: 2가지

따라서 $2\times 2=4$가지

3) A와 B가 서로 붙어 앉도록 자리 정하기:

A묶음과 B묶음이 이웃해 있을 때, A와 B가 붙어 앉으려면 A와 B의 자리는 경계쪽으로 고정됩니다. (1가지)

[함정경고] 여기서 A와 B가 자리를 바꾸는 $2!$을 곱하면 안 됩니다! 묶음의 위치가 정해지면 A와 B가 이웃하기 위한 자리는 유일하게 결정됩니다.

나머지 두 묶음(A, B가 없는 묶음) 안에서만 각각 자리를 바꿀 수 있으므로 $2^2=4$가지

따라서 A와 B가 이웃하는 경우의 수는 $9\times 4\times 1\times 4=144$가지입니다.

step3. 정답 도출

구하는 경우의 수는 (전체 경우의 수) - (A와 B가 이웃하는 경우의 수) 이므로

$864-144=720$가지입니다.

[정답] 720

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수 구하기

2학년 4명을 2명씩 2개 조로 나누는 방법: ${}_4{C}_2{\times }_2{C}_2/2!=3$

3학년 4명을 2명씩 2개 조로 나누는 방법: ${}_4{C}_2{\times }_2{C}_2/2!=3$

4개의 조를 원탁에 배열: $(4-1)!=6$

각 조 내에서 자리 바꾸기: $2^4=16$

전체 경우의 수 = $3\times 3\times 6\times 16=864$

step2. A와 B가 이웃하는 경우의 수 구하기

A조, B조 정하기: ${}_3{C}_1{\times }_3{C}_1=9$

A조와 B조가 이웃하게 조 배열: $(3-1)!\times 2!=4$

A, B가 경계에 붙어 앉고 나머지 조 자리 바꾸기: $1\times 2^2=4$

여사건 경우의 수 = $9\times 4\times 4=144$

step3. 정답 도출

$864-144=720$

$\therefore 720$

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