2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 경우의 수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 6개의 전구가 있다. 이 6개의 전구는 모두 꺼져 있고, 각 전구는 전원 버튼을 누를 때마다 켜짐과 꺼짐이 전환된다. 이 6개의 전구와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $n$일 때, $n$ 이하의 숫자가 적힌 모든 전구의 전원 버튼을 한 번 누른다. 이 시행을 5번 반복할 때, 나오는 눈의 수를 차례로 $a,b,c,d,e$라 하자. 5번째 시행 후 전구가 모두 켜져 있도록 하는 모든 순서쌍 $(a,b,c,d,e)$의 개수를 구하시오. [4점]

1. 문제의 요지

이 문제는 주사위를 던져 나온 눈의 수 이하의 전구 상태를 반전시키는 시행을 5번 반복했을 때, 모든 전구가 켜져 있기 위한 조건을 파악하고 이를 만족하는 순서쌍의 개수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 1부터 6까지 번호가 적힌 6개의 전구가 모두 꺼져 있음
- 주사위를 던져 나온 눈의 수가 $n$일 때, $1$부터 $n$까지의 전구 상태를 반전시킴
- 시행을 5번 반복하여 나온 눈의 수를 차례로 $a,b,c,d,e$라 함
- 5번째 시행 후 1번부터 6번까지 모든 전구가 켜져 있어야 함

3. 풀이의 순서

이 문제는 각 전구가 켜지기 위한 조건을 주사위 눈의 횟수로 변환하여 경우의 수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 각 전구가 켜지기 위한 조건을 파악합니다.

step2. 주사위 눈 $1,2,3,4,5,6$이 나오는 횟수를 각각 $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6$이라 하고, step1의 조건을 수식으로 나타냅니다.

step3. 수식을 연립하여 각 $c_i$가 가져야 할 홀짝성(홀수/짝수)을 알아냅니다.

step4. $c_6$의 값에 따라 경우를 나누어 가능한 순서쌍의 개수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 같은 것이 있는 순열: $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\dots$, $r$개 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!q!\dots r!}$ 이다. (단, $p+q+\dots +r=n$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 전구가 켜져 있으려면 그 전구의 버튼이 '홀수 번' 눌려야 합니다. 주사위 눈이 $n$이 나오면 $1$번부터 $n$번까지의 전구가 눌리므로, $k$번 전구가 눌리는 횟수는 주사위 눈이 $k$ 이상 나온 횟수와 같습니다.

step1. 각 전구가 켜지기 위한 조건을 파악합니다.

처음에 모든 전구가 꺼져 있으므로, 5번의 시행 후 전구가 켜져 있으려면 각 전구의 상태가 홀수 번 바뀌어야 합니다.

주사위를 던져 나온 눈의 수가 $n$일 때, $n$ 이하의 전구 상태가 바뀌므로, $k$번 전구의 상태가 바뀌려면 나온 눈의 수가 $k$ 이상이어야 합니다.

따라서 5번의 시행 중 $k$ 이상의 눈이 홀수 번 나와야 $k$번 전구가 켜져 있게 됩니다.

step2. 주사위 눈이 나오는 횟수를 문자로 두고 조건을 수식으로 나타냅니다.

5번의 시행에서 주사위 눈 $1,2,3,4,5,6$이 나오는 횟수를 각각 $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6$이라 합시다.

총 5번 던지므로 $c_1+c_2+c_3+c_4+c_5+c_6=5$ 입니다.

각 전구가 켜지기 위한 조건은 다음과 같습니다.

- 6번 전구: 6 이상의 눈이 홀수 번 $\Rightarrow c_6$은 홀수

- 5번 전구: 5 이상의 눈이 홀수 번 $\Rightarrow c_5+c_6$은 홀수

- 4번 전구: 4 이상의 눈이 홀수 번 $\Rightarrow c_4+c_5+c_6$은 홀수

- 3번 전구: 3 이상의 눈이 홀수 번 $\Rightarrow c_3+c_4+c_5+c_6$은 홀수

- 2번 전구: 2 이상의 눈이 홀수 번 $\Rightarrow c_2+c_3+c_4+c_5+c_6$은 홀수

- 1번 전구: 1 이상의 눈이 홀수 번 $\Rightarrow c_1+c_2+c_3+c_4+c_5+c_6=5$ (항상 홀수이므로 성립)

step3. 수식을 연립하여 각 횟수의 홀짝성을 알아냅니다.

위 조건들을 차례대로 살펴보면,

- $c_6$이 홀수인데 $c_5+c_6$도 홀수이려면, $c_5$는 짝수여야 합니다.

- $c_5+c_6$이 홀수인데 $c_4+c_5+c_6$도 홀수이려면, $c_4$는 짝수여야 합니다.

- 같은 원리로 $c_3,c_2,c_1$ 모두 짝수여야 합니다.

결론적으로 $c_6$은 홀수이고, 나머지 $c_1,c_2,c_3,c_4,c_5$는 모두 짝수(0 포함)여야 합니다.

[함정경고] 짝수라고 할 때 0을 제외하고 생각하기 쉽습니다. 횟수가 0번인 것도 짝수에 해당하므로 반드시 포함하여 계산해야 합니다.

step4. $c_6$의 값에 따라 경우를 나누어 계산합니다.

$c_6$은 홀수이고 총합이 5이므로, $c_6$이 될 수 있는 값은 1, 3, 5입니다.

(i) $c_6=5$인 경우

나머지 횟수는 모두 0이어야 합니다.

즉, 6이 5번 나오는 경우이므로 순서쌍은 $(6,6,6,6,6)$ 1가지입니다.

(ii) $c_6=3$인 경우

나머지 횟수의 합은 2입니다. $c_1~c_5$ 중 하나가 2이고 나머지는 0이어야 합니다.

2번 나올 숫자를 고르는 방법은 5가지($1,2,3,4,5$ 중 하나)입니다.

예를 들어 1이 2번, 6이 3번 나오는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열을 이용하여 $\frac{5!}{2!3!}=10$가지입니다.

따라서 이 경우의 수는 $5\times 10=50$가지입니다.

(iii) $c_6=1$인 경우

나머지 횟수의 합은 4입니다. $c_1~c_5$는 모두 짝수이므로 다음 두 가지로 나뉩니다.

- 한 숫자가 4번 나오는 경우: 4번 나올 숫자를 고르는 방법은 5가지입니다. 각각의 경우의 수는 $\frac{5!}{4!1!}=5$가지이므로, $5\times 5=25$가지입니다.

- 두 숫자가 각각 2번씩 나오는 경우: 2번 나올 두 숫자를 고르는 방법은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$가지입니다. 각각의 경우의 수는 $\frac{5!}{2!2!1!}=30$가지이므로, $10\times 30=300$가지입니다.

따라서 이 경우의 수는 $25+300=325$가지입니다.

모든 경우의 수를 더하면 $1+50+325=376$가지입니다.

[정답] 376

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 파악

$k$번 전구가 켜짐 $⟺$ $k$ 이상의 눈이 홀수 번 나옴

step2. 수식화

눈 $i$가 나온 횟수를 $c_i$라 하면 ${\sum }_{i=1}^6{c}_i=5$

$c_6$: 홀수

$c_5+c_6$: 홀수

$c_4+c_5+c_6$: 홀수

$c_3+c_4+c_5+c_6$: 홀수

$c_2+c_3+c_4+c_5+c_6$: 홀수

step3. 홀짝성 추론

위 식들을 연립하면

$c_6$: 홀수

$c_5,c_4,c_3,c_2,c_1$: 모두 짝수   --- 0 포함

step4. 경우 나누기

(i) $c_6=5$

나머지 모두 0 $\Rightarrow$ 1가지

(ii) $c_6=3$

나머지 합 2 $\Rightarrow$ 어떤 수 2번

$5\times \frac{5!}{3!2!}=50$가지

(iii) $c_6=1$

나머지 합 4

- 어떤 수 4번: $5\times \frac{5!}{4!1!}=25$가지

- 두 수 각각 2번: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times \frac{5!}{2!2!1!}=10\times 30=300$가지

따라서 $1+50+25+300=376$

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