2023년 6월 학평 (고2) 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 1번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$(3^{2+\sqrt{2}}{)}^{2-\sqrt{2}}$의 값은? ① 1 ② 3 ③ 9 ④ 27 ⑤ 81

1. 문제의 요지

이 문제는 지수법칙을 이용하여 무리수 지수를 포함한 거듭제곱의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수식: $(3^{2+\sqrt{2}}{)}^{2-\sqrt{2}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수법칙과 곱셈공식을 이용하여 식을 간단히 하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 지수법칙을 적용하여 지수끼리 곱합니다.

step2. 합차 공식을 이용하여 지수의 곱을 계산합니다.

step3. 계산된 지수를 밑에 적용하여 최종 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $a>0$이고 $m,n$이 실수일 때, $(a^m{)}^n=a^{mn}$

- 합차 공식: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱의 거듭제곱 형태에서는 지수법칙을 이용하여 지수끼리 곱하는 것이 핵심입니다.

step1. 지수법칙을 적용하여 지수끼리 곱합니다.

주어진 식 $(3^{2+\sqrt{2}}{)}^{2-\sqrt{2}}$에서 지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$을 적용하면,

$3^{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$로 쓸 수 있습니다.

step2. 합차 공식을 이용하여 지수의 곱을 계산합니다.

지수 부분인 $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})$를 계산하기 위해 합차 공식 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$을 이용합니다.

$(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$가 됩니다.

[함정경고] 여기서 무리수의 제곱을 계산할 때 $(\sqrt{2}{)}^2=2$임을 놓치고 실수하기 쉬우니 주의해야 합니다.

step3. 계산된 지수를 밑에 적용하여 최종 값을 구합니다.

계산된 지수 2를 원래의 밑 3에 적용하면,

$3^2=9$가 됩니다.

따라서 정답은 9입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수법칙 적용

$(3^{2+\sqrt{2}}{)}^{2-\sqrt{2}}=3^{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$   --- (지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 이용)

step2. 합차 공식 계산

$(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$   --- (합차 공식 이용)

step3. 최종 값 계산

$3^2=9$

$\therefore ③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

무리수가 포함된 지수를 보고 당황하여 지수법칙을 적용하지 못하거나, 지수끼리 곱하는 과정에서 합차 공식을 떠올리지 못해 계산이 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

거듭제곱의 괄호 밖 지수는 안쪽 지수와 곱해진다는 지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$을 먼저 떠올리세요. 그 후 지수끼리의 곱셈에서 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 형태가 보이면 바로 합차 공식을 적용하여 간단한 정수로 만드세요. 복잡해 보이는 무리수 지수도 곱셈공식을 만나면 단순해집니다.

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