2023년 6월 학평 (고2) 수학 4번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 4번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

4. $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$일 때, 방정식 $2\sin x-1=0$의 해는? [3점] ① $-\frac{\pi }{3}$ ② $-\frac{\pi }{6}$ ③ $0$ ④ $\frac{\pi }{6}$ ⑤ $\frac{\pi }{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 구간에서 간단한 삼각방정식을 풀고 특수각의 삼각비 값을 이용하여 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$
- $2\sin x-1=0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각방정식을 정리한 후, 주어진 범위 내에서 특수각의 삼각비 값을 이용하여 해를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 삼각방정식을 $\sin x=k$ 꼴로 정리합니다.

step2. 주어진 $x$의 범위 내에서 조건을 만족하는 $x$의 값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 특수각의 삼각비: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 등 특수각에 대한 삼각함수 값.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각방정식을 풀 때는 먼저 식을 $\sin x=k$ 형태로 정리한 뒤, 주어진 $x$의 범위 안에서 해당하는 각을 찾아야 합니다.

step1. 주어진 삼각방정식을 $\sin x=k$ 꼴로 정리합니다.

주어진 방정식은 $2\sin x-1=0$ 입니다.

상수항을 우변으로 이항하면 $2\sin x=1$ 이 됩니다.

양변을 2로 나누면 $\sin x=\frac{1}{2}$ 이 됩니다.

step2. 주어진 $x$의 범위 내에서 조건을 만족하는 $x$의 값을 찾습니다.

문제에서 주어진 $x$의 범위는 $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ 입니다.

이 범위에서 $\sin x$의 값이 양수인 구간은 $0<x<\frac{\pi }{2}$ (제1사분면) 입니다.

[함정경고] $x$의 범위를 확인하지 않고 무작정 일반해를 구하거나 다른 사분면의 각을 답으로 착각하기 쉬우니, 반드시 주어진 범위를 먼저 확인해야 합니다.

우리가 알고 있는 특수각의 삼각비 중에서 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 임을 이용합니다.

따라서 주어진 범위 내에서 $\sin x=\frac{1}{2}$ 을 만족하는 $x$의 값은 $\frac{\pi }{6}$ 입니다.

정답은 ④ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 정리

$2\sin x-1=0$

$2\sin x=1$

$\sin x=\frac{1}{2}$

step2. 범위 내의 해 구하기

$-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ 이므로

$x=\frac{\pi }{6}$   --- (특수각의 삼각비 이용)

$\therefore ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생이 막힐 가능성이 가장 높은 지점은 삼각방정식을 $\sin x=k$ 형태로 정리하는 대수 조작 과정과, 특수각의 삼각비 값(특히 $\sin \frac{\pi }{6}$과 $\sin \frac{\pi }{3}$)을 혼동하여 잘못된 각을 선택하는 부분입니다. 식을 정리한 후에도 주어진 범위 안에 해당하는 각이 무엇인지 정확히 떠올리지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

방정식을 풀 때처럼 미지수 $\sin x$만 남기도록 식을 이항하고 나누어 $\sin x=\frac{1}{2}$로 정리하세요. 그 다음 $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$ 즉, $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$임을 다시 한번 상기하고, 이 값이 주어진 범위 $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ 안에 있는지 확인하면 됩니다. 특수각 표를 머릿속에 그려보는 연습이 큰 도움이 됩니다.

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