2023년 6월 학평 (고2) 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

2. $\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}8}$ 의 값은? [2점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 밑 변환 공식 또는 로그의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 주어진 식: $\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}8}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 밑 변환 공식을 이용하거나, 진수를 거듭제곱으로 표현하여 로그의 성질을 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 밑 변환 공식을 이용하여 주어진 식을 하나의 로그로 합칩니다.

step2. 진수를 밑의 거듭제곱으로 표현하여 값을 계산합니다.

step3. (다른 방법) 분자와 분모의 로그 값을 각각 계산하여 나눗셈을 수행합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 밑 변환 공식: $\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}={\log }_{a}b$ (단, $a>0,a\ne 1,b>0,c>0,c\ne 1$)

- 로그의 성질: ${\log }_a{a}^n=n$ (단, $a>0,a\ne 1$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 분수 형태의 로그 식에서 밑이 같을 때는 밑 변환 공식을 떠올리는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 식 $\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}8}$을 보면 분자와 분모의 로그 밑이 모두 $4$로 같습니다.

이때 밑 변환 공식 $\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}={\log }_{a}b$를 거꾸로 적용하면, 식을 하나의 로그로 합칠 수 있습니다.

$\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}8}={\log }_{8}64$

step2. 이제 ${\log }_{8}64$의 값을 구하면 됩니다.

진수 $64$는 밑인 $8$의 제곱, 즉 $64=8^2$입니다.

로그의 성질 ${\log }_a{a}^n=n$을 이용하면,

${\log }_{8}64={\log }_8(8^2)=2$가 됩니다.

step3. (다른 방법) 분자와 분모를 각각 계산해 볼 수도 있습니다.

[함정경고] 분자와 분모의 진수를 각각 계산할 때, $8$을 $4$의 거듭제곱으로 표현하는 과정에서 실수하기 쉬우므로 밑을 $2$로 통일하여 계산하는 것이 안전합니다.

분자: ${\log }_{4}64={\log }_4(4^3)=3$

분모: ${\log }_{4}8={\log }_{2^2}(2^3)=\frac{3}{2}$

따라서 $\frac{3}{\frac{3}{2}}=3\times \frac{2}{3}=2$가 됩니다.

어느 방법으로 풀어도 결과는 같습니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑 변환 공식 적용

$\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}8}={\log }_{8}64$   --- (밑이 4로 같으므로 밑 변환 공식 이용)

step2. 로그 값 계산

${\log }_{8}64={\log }_8(8^2)$

$=2$

$\therefore 2$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

분모인 ${\log }_{4}8$을 계산할 때, $8$이 $4$의 정수 거듭제곱이 아니어서 당황할 수 있습니다. 또는 분수 형태의 로그를 어떻게 처리해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

밑이 같은 두 로그의 나눗셈은 '밑 변환 공식'을 거꾸로 적용하여 하나의 로그로 합칠 수 있다는 점을 기억하세요. $\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}={\log }_{a}b$ 공식을 활용하면 복잡한 계산 없이 쉽게 해결할 수 있습니다.

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