2024년 6월 학평 (고1) 수학 3번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 $2x^3-x^2-x+4$를 $x-1$로 나눈 나머지는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지정리를 이용하여 다항식을 일차식으로 나눈 나머지를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식 $P(x)=2x^3-x^2-x+4$
- 나누는 식: $x-1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지정리를 이용하여 다항식에 특정 값을 대입하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 다항식을 $P(x)$로 둡니다.

step2. 나머지정리를 적용하기 위해 나누는 식이 0이 되는 $x$의 값을 찾습니다.

step3. 찾은 $x$의 값을 $P(x)$에 대입하여 나머지를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리: 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-a$로 나눈 나머지는 $P(a)$와 같습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식을 일차식으로 나눈 나머지를 구할 때는 직접 나눗셈을 하지 않고 '나머지정리'를 이용하면 매우 빠르고 정확하게 계산할 수 있습니다.

step1. 주어진 다항식을 $P(x)$라고 합시다.

$P(x)=2x^3-x^2-x+4$

step2. 다항식 $P(x)$를 일차식 $x-1$로 나눈 나머지를 구해야 합니다.

나머지정리에 의해, 나누는 식인 $x-1$이 $0$이 되게 하는 $x$의 값을 찾습니다.

$x-1=0$ 이므로 $x=1$ 입니다.

step3. 이제 $x=1$을 다항식 $P(x)$에 대입하여 나머지를 계산합니다.

$P(1)=2(1{)}^3-(1{)}^2-1+4$

$P(1)=2(1)-1-1+4$

$P(1)=2-1-1+4$

$P(1)=4$

[함정경고] $x$에 값을 대입할 때 부호를 잘못 계산하거나, 거듭제곱 계산에서 실수하기 쉬우므로 차분하게 계산해야 합니다.

따라서 구하는 나머지는 4이며, 정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 다항식 설정

$P(x)=2x^3-x^2-x+4$

step2. 나머지정리 적용

--- 나머지정리에 의해 $x-1=0$인 $x=1$ 대입

$P(1)=2(1{)}^3-(1{)}^2-1+4$

step3. 계산

$P(1)=2-1-1+4=4$

$\therefore 4$

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