2024년 6월 학평 (고1) 수학 4번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 4번
문제의 분류	고등학교 (이차부등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

4. $x$에 대한 이차부등식 $x^2+ax+6<0$의 해가 $2<x<3$ 일 때, 상수 $a$의 값은? [3점] ① -5 ② -4 ③ -3 ④ -2 ⑤ -1

1. 문제의 요지

이 문제는 이차부등식의 해와 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차부등식: $x^2+ax+6<0$
- 부등식의 해: $2<x<3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차부등식의 해를 이용하여 원래의 이차부등식을 작성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 해를 바탕으로 이차항의 계수가 1인 이차부등식을 작성합니다.

step2. 작성한 부등식을 전개하여 주어진 부등식과 계수를 비교합니다.

step3. 상수 $a$의 값을 구하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식의 작성: 이차항의 계수가 1이고 해가 $\alpha <x<\beta$인 이차부등식은 $(x-\alpha )(x-\beta )<0$으로 작성할 수 있다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차부등식의 해가 주어졌을 때, 이를 바탕으로 원래의 이차부등식을 역으로 만들어낼 수 있습니다.

step1. 주어진 해를 바탕으로 이차부등식 작성하기

문제에서 이차부등식 $x^2+ax+6<0$의 해가 $2<x<3$이라고 주어졌습니다.

이차항의 계수가 1이고 해가 $2<x<3$인 이차부등식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$(x-2)(x-3)<0$

step2. 부등식 전개 및 계수 비교

위에서 작성한 부등식의 좌변을 전개해 봅니다.

$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$

따라서 부등식은 $x^2-5x+6<0$이 됩니다.

step3. 상수 $a$의 값 구하기

이 부등식이 문제에 주어진 $x^2+ax+6<0$과 같아야 하므로, $x$의 계수를 비교하면 다음과 같습니다.

$a=-5$

[함정경고] 부호를 반대로 생각하여 $a=5$로 착각하기 쉬우니, 전개할 때 부호에 주의해야 합니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 이차부등식 작성

해가 $2<x<3$이고 이차항 계수가 1이므로

$(x-2)(x-3)<0$

step2. 전개 및 계수 비교

$x^2-5x+6<0$

step3. a값 도출

$x^2+ax+6<0$과 비교하면

$a=-5$

$\therefore ①$

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