2024년 6월 학평 (고2) 수학 1번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 1번
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

1. $\sqrt[3]{4}\times 2^{\frac{1}{3}}$ 의 값은? [2점] ① $\frac{1}{4}$ ② $\frac{1}{2}$ ③ 1 ④ 2 ⑤ 4

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하고, 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈에서 지수법칙을 적용하여 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 계산할 식: $\sqrt[3]{4}\times 2^{\frac{1}{3}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾸고 지수법칙을 적용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 거듭제곱근 $\sqrt[3]{4}$를 밑이 2인 유리수 지수 형태로 변환합니다.

step2. 밑이 같은 두 수의 곱셈에 지수법칙을 적용하여 지수를 더합니다.

step3. 지수를 계산하여 최종 값을 도출하고 정답을 선택합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 지수 표현: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (단, $a>0$, $m,n$은 정수, $n\ge 2$)

- 지수법칙 (곱셈): $a^m\times a^n=a^{m+n}$ (단, $a>0$, $m,n$은 실수)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱근 기호가 포함된 식은 밑을 소인수분해한 후 유리수 지수로 통일하면 계산이 훨씬 수월해집니다.

step1. 거듭제곱근 $\sqrt[3]{4}$를 밑이 2인 유리수 지수 형태로 변환합니다.

먼저 $4=2^2$ 이므로, 거듭제곱근의 성질을 이용하여 지수 형태로 바꿉니다.

$\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$

step2. 밑이 같은 두 수의 곱셈에 지수법칙을 적용하여 지수를 더합니다.

주어진 식에 step1의 결과를 대입하면 다음과 같습니다.

$\sqrt[3]{4}\times 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}\times 2^{\frac{1}{3}}$

[함정경고] 여기서 지수끼리 곱하는 실수($\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}$)를 하지 않도록 주의해야 합니다. 밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리의 합입니다.

지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$을 적용합니다.

$2^{\frac{2}{3}}\times 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}$

step3. 지수를 계산하여 최종 값을 도출하고 정답을 선택합니다.

지수를 더하면 $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1$ 이 됩니다.

따라서 $2^1=2$ 입니다.

결과값 2는 보기 ④에 해당합니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수 변환

$\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$

step2. 지수법칙 적용

$2^{\frac{2}{3}}\times 2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}$   --- (밑이 같으므로 지수의 합)

step3. 계산

$=2^1=2$

$\therefore 정답④$

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