2024년 6월 학평 (고2) 수학 3번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

중심각의 크기가 $\frac{3}{4}\pi$이고 호의 길이가 $\frac{2}{3}\pi$인 부채꼴의 반지름의 길이는? [2점] ① $\frac{4}{9}$ ② $\frac{5}{9}$ ③ $\frac{2}{3}$ ④ $\frac{7}{9}$ ⑤ $\frac{8}{9}$

1. 문제의 요지

이 문제는 부채꼴의 호의 길이와 중심각, 반지름 사이의 관계식을 이용하여 반지름의 길이를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부채꼴의 중심각의 크기 $\theta =\frac{3}{4}\pi$
- 부채꼴의 호의 길이 $l=\frac{2}{3}\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 부채꼴의 호의 길이 공식을 이용하여 반지름을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 부채꼴의 호의 길이 공식을 확인합니다.

step2. 주어진 중심각과 호의 길이를 공식에 대입하여 반지름을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 부채꼴의 호의 길이 공식: 반지름이 $r$, 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 할 때, $l=r\theta$가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 부채꼴의 호의 길이 $l$, 반지름 $r$, 중심각 $\theta$(라디안) 사이에는 $l=r\theta$라는 간단한 비례 관계가 성립합니다. 이 공식을 정확히 기억하고 적용하는 것이 핵심입니다.

step1. 부채꼴의 호의 길이 공식을 확인합니다.

반지름의 길이를 $r$, 중심각의 크기를 $\theta$, 호의 길이를 $l$이라고 하면, 호의 길이를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$l=r\theta$

step2. 주어진 중심각과 호의 길이를 공식에 대입하여 반지름을 계산합니다.

문제에서 주어진 조건은 다음과 같습니다.

중심각 $\theta =\frac{3}{4}\pi$

호의 길이 $l=\frac{2}{3}\pi$

이 값들을 공식에 대입하면,

$\frac{2}{3}\pi =r\times \frac{3}{4}\pi$

양변에서 $\pi$를 약분하면,

$\frac{2}{3}=r\times \frac{3}{4}$

$r$을 구하기 위해 양변에 $\frac{4}{3}$를 곱해줍니다.

$r=\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}=\frac{8}{9}$

[함정경고] 분수의 나눗셈을 할 때 역수를 곱하는 과정에서 분자와 분모의 위치를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.

따라서 부채꼴의 반지름의 길이는 $\frac{8}{9}$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 부채꼴의 호의 길이 공식

$l=r\theta$

step2. 대입 및 계산

$\frac{2}{3}\pi =r\times \frac{3}{4}\pi$

$r=\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}$

$r=\frac{8}{9}$

$\therefore 정답⑤$

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