2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 23번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 덧셈정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 사건 $A,B$는 서로 배반사건이고 $P(A)=\frac{1}{4},P(B)=\frac{1}{6}$ 일 때, $P(A\cup B)$의 값은? [2점] ① $\frac{1}{4}$ ② $\frac{7}{24}$ ③ $\frac{1}{3}$ ④ $\frac{3}{8}$ ⑤ $\frac{5}{12}$

1. 문제의 요지

이 문제는 두 사건이 서로 배반사건일 때 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 사건 $A,B$는 서로 배반사건
- $P(A)=\frac{1}{4}$
- $P(B)=\frac{1}{6}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 배반사건의 정의와 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 사건이 배반사건일 때의 교사건의 확률을 파악합니다.

step2. 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 배반사건: 두 사건 $A,B$가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 $A\cap B=\varnothing$ 일 때 두 사건을 서로 배반사건이라고 합니다. 이때 $P(A\cap B)=0$ 입니다.

- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A,B$에 대하여 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 사건이 서로 배반사건이라는 것은 두 사건이 동시에 일어날 수 없음을 의미하며, 이는 교집합의 확률이 0임을 뜻합니다.

step1. 두 사건이 배반사건일 때의 교사건의 확률을 파악합니다.

문제에서 두 사건 $A,B$는 서로 배반사건이라고 주어졌습니다.

배반사건의 정의에 의해 $A\cap B=\varnothing$ 이므로, $P(A\cap B)=0$ 입니다.

step2. 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 계산합니다.

확률의 덧셈정리에 의하면 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 입니다.

여기서 $P(A\cap B)=0$ 이므로, 식은 다음과 같이 간단해집니다.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

주어진 확률 값인 $P(A)=\frac{1}{4}$ 과 $P(B)=\frac{1}{6}$ 을 대입하여 계산합니다.

$P(A\cup B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$

분모를 12로 통분하여 더해줍니다.

$P(A\cup B)=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

[함정경고] 배반사건과 독립사건을 혼동하여 $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ 로 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

따라서 $P(A\cup B)=\frac{5}{12}$ 이며, 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 배반사건의 성질

$A,B$가 배반사건이므로 $P(A\cap B)=0$

step2. 확률의 덧셈정리

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-0$

$P(A\cup B)=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

$\therefore 정답⑤$

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