2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 30번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 30번
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 방정식)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

두 이차함수 $f(x)$, $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x$에 대한 방정식 $4x^2-2\{f(x)+g(x)\}x+f(x)g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 1이다. (나) $x$에 대한 방정식 $4k^2-2\{f(x)+g(x)\}k+f(x)g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값은 $-\frac{1}{2}$, 0, 1이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)-g(x)\ge 0$일 때, $f(10)+g(6)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 방정식의 구조를 파악하여 $f(x)$와 $g(x)$의 관계를 도출하고, 실근의 개수 조건을 통해 두 이차함수의 식을 결정하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 이차함수 $f(x)$, $g(x)$
- (가) 방정식 $4x^2-2\{f(x)+g(x)\}x+f(x)g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 1
- (나) 방정식 $4k^2-2\{f(x)+g(x)\}k+f(x)g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 3이 되도록 하는 모든 실수 $k$의 값은 $-\frac{1}{2}$, 0, 1
- 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)-g(x)\ge 0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 방정식의 실근의 개수를 두 함수의 그래프의 교점의 개수로 해석하여 함수식을 추론하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식들을 인수분해하여 $f(x)$와 $g(x)$에 대한 조건으로 변환합니다.

step2. 조건 (나)와 $f(x)\ge g(x)$를 이용하여 두 이차함수의 개형과 꼭짓점, 접점의 $y$좌표를 구합니다.

step3. 접점의 좌표와 공통 접선의 기울기를 미지수로 두고 $f(x)$와 $g(x)$의 식을 세웁니다.

step4. 조건 (가)를 이용하여 미지수를 구하고 $f(x)$와 $g(x)$를 확정합니다.

step5. $f(10)+g(6)$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 실근의 개수: 이차방정식의 실근의 개수는 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수와 같습니다.

- 두 이차함수의 접할 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge g(x)$이고 두 함수의 교점이 존재한다면, 두 함수는 그 교점에서 접하며 방정식 $f(x)-g(x)=0$은 중근을 가집니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (나)에서 실근의 개수가 3개가 되는 $y=2k$의 위치가 두 이차함수의 꼭짓점과 접점임을 파악하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.

step1. 주어진 방정식들을 인수분해하여 $f(x)$와 $g(x)$에 대한 조건으로 변환합니다.

조건 (가)의 방정식 $4x^2-2\{f(x)+g(x)\}x+f(x)g(x)=0$은 다음과 같이 인수분해됩니다.

$(2x-f(x))(2x-g(x))=0$

따라서 $f(x)=2x$ 또는 $g(x)=2x$를 만족하는 서로 다른 실근 $x$의 개수가 1개입니다.

조건 (나)의 방정식 $4k^2-2\{f(x)+g(x)\}k+f(x)g(x)=0$ 역시 인수분해하면,

$(2k-f(x))(2k-g(x))=0$

따라서 $f(x)=2k$ 또는 $g(x)=2k$를 만족하는 서로 다른 실근 $x$의 개수가 3개가 되는 $k$의 값이 $-\frac{1}{2},0,1$입니다.

step2. 조건 (나)와 $f(x)\ge g(x)$를 이용하여 두 이차함수의 개형과 꼭짓점, 접점의 $y$좌표를 구합니다.

모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge g(x)$이므로 $y=f(x)$의 그래프는 $y=g(x)$의 그래프보다 항상 위쪽에 있거나 접합니다.

조건 (나)에서 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프가 직선 $y=2k$와 만나는 교점의 총 개수가 3개가 되어야 합니다.

이차함수 두 개와 수평선의 교점이 3개가 되려면, 수평선이 두 이차함수 중 하나의 꼭짓점을 지나거나 두 함수의 교점을 지나야 합니다.

$k=-\frac{1}{2},0,1$일 때 $2k=-1,0,2$이므로, 교점이 3개가 되는 $y$값이 3개 존재합니다.

이는 $f(x)$가 아래로 볼록하고 $g(x)$가 위로 볼록하며, 두 함수가 한 점에서 접할 때만 가능합니다.

$f(x)$의 최솟값을 $y_1$, $g(x)$의 최댓값을 $y_2$, 접점의 $y$좌표를 $y_3$라 하면, $y_1<y_3<y_2$가 성립해야 합니다.

따라서 $y_1=-1$, $y_3=0$, $y_2=2$가 됩니다.

즉, $f(x)$의 최솟값은 $-1$, $g(x)$의 최댓값은 $2$, 두 함수의 접점의 $y$좌표는 $0$입니다.

step3. 접점의 좌표와 공통 접선의 기울기를 미지수로 두고 $f(x)$와 $g(x)$의 식을 세웁니다.

두 함수는 $y=0$에서 접하므로 접점의 좌표를 $(\alpha ,0)$이라 하고, 이 점에서의 공통 접선의 기울기를 $m$이라 합시다.

$f(\alpha )=0$, $f^{\prime }(\alpha )=m$이고 최솟값이 $-1$이므로 식을 세우면,

$f(x)=\frac{m^2}{4}(x-\alpha {)}^2+m(x-\alpha )$가 됩니다.

마찬가지로 $g(\alpha )=0$, $g^{\prime }(\alpha )=m$이고 최댓값이 $2$이므로 식을 세우면,

$g(x)=-\frac{m^2}{8}(x-\alpha {)}^2+m(x-\alpha )$가 됩니다.

step4. 조건 (가)를 이용하여 미지수를 구하고 $f(x)$와 $g(x)$를 확정합니다.

조건 (가)에서 $f(x)=2x$ 또는 $g(x)=2x$의 서로 다른 실근이 1개입니다.

[함정경고] 여기서 두 방정식 중 하나만 중근을 가지고 다른 하나는 허근을 가진다고 착각하기 쉽습니다. 두 방정식이 같은 중근을 가지는 경우를 놓치지 않도록 주의해야 합니다.

$f(x)-2x=\frac{m^2}{4}(x-\alpha {)}^2+(m-2)x-m\alpha =0$

$g(x)-2x=-\frac{m^2}{8}(x-\alpha {)}^2+(m-2)x-m\alpha =0$

두 이차방정식의 실근이 총 1개가 되려면, 두 방정식이 공통 중근을 가져야 합니다.

두 식의 일차항과 상수항의 형태를 보면, $m=2$이고 $\alpha =0$일 때 두 방정식 모두 $x=0$이라는 중근을 가짐을 알 수 있습니다.

따라서 $m=2,\alpha =0$을 대입하면,

$f(x)=x^2+2x$

$g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$

step5. $f(10)+g(6)$의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

$f(10)={10}^2+2\times 10=120$

$g(6)=-\frac{1}{2}\times 6^2+2\times 6=-18+12=-6$

따라서 $f(10)+g(6)=120+(-6)=114$입니다.

[정답] 114

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 인수분해

$4x^2-2\{f(x)+g(x)\}x+f(x)g(x)=0$

$(2x-f(x))(2x-g(x))=0\Rightarrow f(x)=2x$ 또는 $g(x)=2x$

$4k^2-2\{f(x)+g(x)\}k+f(x)g(x)=0$

$(2k-f(x))(2k-g(x))=0\Rightarrow f(x)=2k$ 또는 $g(x)=2k$

step2. 함수의 개형과 특징 파악

$f(x)\ge g(x)$이므로 $f(x)$는 아래로 볼록, $g(x)$는 위로 볼록

$y=2k$와의 교점이 3개가 되는 $2k$값은 $-1,0,2$

---(꼭짓점과 접점의 y좌표)

$f(x)$ 최솟값 $-1$, $g(x)$ 최댓값 $2$, 접점 $y$좌표 $0$

step3. 함수식 설정

접점 $(\alpha ,0)$, 공통 접선 기울기 $m$

$f(x)=\frac{m^2}{4}(x-\alpha {)}^2+m(x-\alpha )$

$g(x)=-\frac{m^2}{8}(x-\alpha {)}^2+m(x-\alpha )$

step4. 미지수 확정

$f(x)=2x,g(x)=2x$의 실근이 총 1개

---(두 방정식이 공통 중근을 가짐)

$m=2,\alpha =0$

$f(x)=x^2+2x$

$g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$

step5. 정답 계산

$f(10)=100+20=120$

$g(6)=-18+12=-6$

$f(10)+g(6)=114$

$\therefore 114$

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