2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 도함수의 활용)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

상수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=3x^3-9x^2+a$의 극댓값이 20일 때, 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 다항함수의 미분을 이용하여 극값을 갖는 $x$의 위치를 찾고, 주어진 극댓값을 통해 미지수 $a$를 구한 뒤 극솟값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=3x^3-9x^2+a$
- $f(x)$의 극댓값은 20

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 이용하여 극값을 갖는 $x$의 위치를 파악하고, 주어진 극댓값 조건을 통해 미지수를 구한 후 극솟값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$를 미분하여 $f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$의 값을 찾습니다.

step2. 삼차함수의 그래프 개형을 통해 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 위치를 판별합니다.

step3. 주어진 극댓값 조건을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $a$의 값을 바탕으로 극솟값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 도함수와 극값: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }(c)=0$이다.

- 삼차함수의 그래프 개형: 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수는 $f^{\prime }(x)=0$이 서로 다른 두 실근 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$를 가질 때, $x=\alpha$에서 극대, $x=\beta$에서 극소가 된다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항함수의 극값은 도함수 $f^{\prime }(x)=0$이 되는 지점에서 발생하며, 최고차항의 부호에 따라 극대와 극소의 위치가 결정됩니다.

step1. 함수 $f(x)$를 미분하여 $f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$의 값을 찾습니다.

주어진 함수 $f(x)=3x^3-9x^2+a$를 $x$에 대하여 미분하면,

$f^{\prime }(x)=9x^2-18x$

$f^{\prime }(x)=0$이 되는 $x$의 값을 구하기 위해 인수분해를 합니다.

$9x(x-2)=0$

따라서 $x=0$ 또는 $x=2$입니다.

step2. 삼차함수의 그래프 개형을 통해 극댓값과 극솟값을 갖는 $x$의 위치를 판별합니다.

$f(x)$는 최고차항의 계수가 양수(3)인 삼차함수입니다.

따라서 $x=0$에서 극댓값을 가지고, $x=2$에서 극솟값을 가집니다.

[함정경고] $x=0$과 $x=2$ 중 어느 곳에서 극대인지 극소인지 헷갈리기 쉽습니다. 최고차항이 양수인 삼차함수는 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소를 가짐을 기억하세요.

step3. 주어진 극댓값 조건을 이용하여 상수 $a$의 값을 구합니다.

문제에서 극댓값이 20이라고 주어졌으므로, $f(0)=20$이어야 합니다.

$f(0)=3(0{)}^3-9(0{)}^2+a=a$

따라서 $a=20$입니다.

step4. 구한 $a$의 값을 바탕으로 극솟값을 계산하여 정답을 도출합니다.

함수 $f(x)$는 $f(x)=3x^3-9x^2+20$으로 확정되었습니다.

극솟값은 $x=2$일 때의 함숫값이므로 $f(2)$를 계산합니다.

$f(2)=3(2{)}^3-9(2{)}^2+20$

$f(2)=3(8)-9(4)+20$

$f(2)=24-36+20=8$

따라서 함수 $f(x)$의 극솟값은 8입니다.

[정답] 8

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 계산

$f^{\prime }(x)=9x^2-18x=9x(x-2)$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0\text{ 또는 }x=2$

step2. 극값 위치 판별

---최고차항 계수가 양수이므로 $x=0$에서 극대, $x=2$에서 극소

step3. 상수 a 구하기

$f(0)=a=20$

step4. 극솟값 계산

$f(2)=3(8)-9(4)+20$

$=24-36+20=8$

$\therefore 8$

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