2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 함수의 극한과 연속)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=(x-1)(x-2)$와 최고차항의 계수가 1인 사차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a}\frac{g(x)\times |f(x)|}{f(x)}$ 의 값과 ${lim}_{x\to a}\frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)}$ 의 값이 모두 존재한다. $g(-1)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 극한이 존재할 조건, 특히 절댓값이 포함된 분수 함수의 극한이 존재하기 위한 분자, 분모의 인수 조건을 파악하여 미지의 사차함수 $g(x)$를 결정하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)=(x-1)(x-2)$
- $g(x)$는 최고차항의 계수가 1인 사차함수
- 모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a}\frac{g(x)\times |f(x)|}{f(x)}$ 의 값이 존재
- 모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a}\frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)}$ 의 값이 존재

3. 풀이의 순서

이 문제는 절댓값이 포함된 분수 함수의 극한이 존재할 조건을 이용하여 미정계수를 결정하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 첫 번째 극한 조건을 이용하여 $g(x)$가 $f(x)$의 인수를 가짐을 확인합니다.

step2. 두 번째 극한 조건을 분석하기 위해 $g(x)-f(x)$를 설정하고 극한이 존재할 조건을 찾습니다.

step3. 좌극한과 우극한이 같아야 함을 이용하여 $g(x)$의 식을 완성합니다.

step4. 완성된 $g(x)$ 식에 $x=-1$을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 극한의 존재 조건: ${lim}_{x\to a}f(x)$가 존재하려면 좌극한 ${lim}_{x\to a^{-}}f(x)$와 우극한 ${lim}_{x\to a^{+}}f(x)$가 모두 존재하고 그 값이 같아야 한다.

5. 구체적 풀이

step1. 첫 번째 극한 조건을 이용하여 $g(x)$가 $f(x)$의 인수를 가짐을 확인합니다.

주어진 조건에서 모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a}\frac{g(x)\times |f(x)|}{f(x)}$ 의 값이 존재해야 합니다.

$f(x)=(x-1)(x-2)$ 이므로 $x=1$과 $x=2$에서 $f(x)=0$이 됩니다.

$x=1$에서의 극한을 생각해보면, $x\to 1^{+}$일 때 $f(x)<0$ 이므로 $\frac{|f(x)|}{f(x)}=-1$ 이고, $x\to 1^{-}$일 때 $f(x)>0$ 이므로 $\frac{|f(x)|}{f(x)}=1$ 입니다.

따라서 좌극한과 우극한이 같으려면 $g(1)\times (-1)=g(1)\times 1$ 이어야 하므로 $g(1)=0$ 입니다.

마찬가지로 $x=2$에서도 $f(x)$의 부호가 바뀌므로 $g(2)=0$ 이어야 합니다.

[키포인트] $g(x)$는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로, $g(x)=(x-1)(x-2)(x^2+px+q)$ 로 둘 수 있습니다.

step2. 두 번째 극한 조건을 분석하기 위해 $g(x)-f(x)$를 설정하고 극한이 존재할 조건을 찾습니다.

모든 실수 $a$에 대하여 ${lim}_{x\to a}\frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)}$ 의 값이 존재해야 합니다.

$g(x)-f(x)=(x-1)(x-2)(x^2+px+q)-(x-1)(x-2)=(x-1)(x-2)(x^2+px+q-1)$ 입니다.

계산의 편의를 위해 $h(x)=x^2+px+q-1$ 이라 하면, $g(x)-f(x)=(x-1)(x-2)h(x)$ 이고, $g(x)=(x-1)(x-2)(h(x)+1)$ 입니다.

주어진 극한식은 ${lim}_{x\to a}\frac{|(x-1)(x-2)h(x)|}{(x-1)(x-2)(h(x)+1)}$ 가 됩니다.

step3. 좌극한과 우극한이 같아야 함을 이용하여 $g(x)$의 식을 완성합니다.

$a=1$일 때의 극한이 존재해야 합니다.

$x\to 1$일 때 $x-2<0$ 이므로 $|x-2|=-(x-2)$ 입니다.

따라서 극한식은 ${lim}_{x\to 1}\frac{|x-1|(-1)(x-2)|h(x)|}{(x-1)(x-2)(h(x)+1)}={lim}_{x\to 1}\frac{-|x-1||h(x)|}{(x-1)(h(x)+1)}$ 가 됩니다.

우극한 ($x\to 1^{+}$): $\frac{-|h(1)|}{h(1)+1}$

좌극한 ($x\to 1^{-}$): $\frac{|h(1)|}{h(1)+1}$

[함정경고] 절댓값 기호를 벗길 때 $x\to 1$ 근방에서 $x-2$의 부호가 음수임을 놓치기 쉽습니다. 부호를 정확히 판별해야 합니다.

극한이 존재하려면 우극한과 좌극한이 같아야 하므로 $\frac{-|h(1)|}{h(1)+1}=\frac{|h(1)|}{h(1)+1}$ 에서 $|h(1)|=0$, 즉 $h(1)=0$ 이어야 합니다.

$h(1)=1+p+q-1=p+q=0$ 이므로 $q=-p$ 입니다.

마찬가지로 $a=2$일 때의 극한이 존재해야 합니다.

$x\to 2$일 때 $x-1>0$ 이므로 $|x-1|=x-1$ 입니다.

극한식은 ${lim}_{x\to 2}\frac{(x-1)|x-2||h(x)|}{(x-1)(x-2)(h(x)+1)}={lim}_{x\to 2}\frac{|x-2||h(x)|}{(x-2)(h(x)+1)}$ 가 됩니다.

우극한 ($x\to 2^{+}$): $\frac{|h(2)|}{h(2)+1}$

좌극한 ($x\to 2^{-}$): $\frac{-|h(2)|}{h(2)+1}$

극한이 존재하려면 우극한과 좌극한이 같아야 하므로 $h(2)=0$ 이어야 합니다.

$h(2)=4+2p+q-1=3+2p+q=0$ 입니다.

$q=-p$ 를 대입하면 $3+2p-p=0$ 에서 $p=-3$ 이고, $q=3$ 입니다.

따라서 $h(x)=x^2-3x+2$ 이고, $g(x)=(x-1)(x-2)(x^2-3x+3)$ 입니다.

(참고로 $x^2-3x+3=0$ 은 실근을 갖지 않으므로 분모가 0이 되는 다른 $a$는 존재하지 않아 모든 실수 $a$에서 극한이 존재합니다.)

step4. 완성된 $g(x)$ 식에 $x=-1$을 대입하여 정답을 도출합니다.

$g(-1)=(-1-1)(-1-2)((-1{)}^2-3(-1)+3)=(-2)\times (-3)\times (1+3+3)=6\times 7=42$ 입니다.

[정답] 42

⚡ 실전용 풀이

step1. 첫 번째 극한 조건

${lim}_{x\to a}\frac{g(x)|f(x)|}{f(x)}$ 존재

$x\to 1,2$에서 $\frac{|f(x)|}{f(x)}$의 부호가 바뀌므로

$g(1)=0,g(2)=0$

$g(x)=(x-1)(x-2)(x^2+px+q)$

step2. 두 번째 극한 조건

$h(x)=x^2+px+q-1$ 이라 하면

$g(x)-f(x)=(x-1)(x-2)h(x)$

$g(x)=(x-1)(x-2)(h(x)+1)$

${lim}_{x\to a}\frac{|(x-1)(x-2)h(x)|}{(x-1)(x-2)(h(x)+1)}$ 존재

step3. 좌우 극한 비교

$x\to 1$일 때, ${lim}_{x\to 1}\frac{-|x-1||h(x)|}{(x-1)(h(x)+1)}$ 존재

$\frac{-|h(1)|}{h(1)+1}=\frac{|h(1)|}{h(1)+1}⟹h(1)=0$

$1+p+q-1=0⟹q=-p$

$x\to 2$일 때, ${lim}_{x\to 2}\frac{|x-2||h(x)|}{(x-2)(h(x)+1)}$ 존재

$\frac{|h(2)|}{h(2)+1}=\frac{-|h(2)|}{h(2)+1}⟹h(2)=0$

$4+2p+q-1=0⟹3+2p+q=0$

$3+p=0⟹p=-3,q=3$

$g(x)=(x-1)(x-2)(x^2-3x+3)$

step4. 정답 도출

$g(-1)=(-2)(-3)(1+3+3)=42$

$\therefore 42$

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