2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 6월 모평 고3 수학 확률과통계

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 10. 23:19

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번
문제의 분류	고등학교 (이항정리)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식

(2 x - 1)^{5} (x + 1)

의 전개식에서

x^{3}

의 계수는? [3점] ① 30 ② 35 ③ 40 ④ 45 ⑤ 50

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리를 이용하여 다항식의 곱에서 특정 차수의 항의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식:

(2 x - 1)^{5} (x + 1)

- 구해야 할 것: 전개식에서

x^{3}

의 계수

3. 풀이의 순서

이 문제는 다항식을 분리하여 각각 필요한 차수의 항을 이항정리로 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 다항식을 $(2 x - 1)^{5} \cdot x$ 와 $(2 x - 1)^{5} \cdot 1$ 로 분리하여 $x^{3}$ 항이 나오는 경우를 찾습니다.

step2. 이항정리를 이용하여 $(2 x - 1)^{5}$ 의 일반항을 구합니다.

step3. 각 경우에 필요한 차수의 계수를 계산하고 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리: $(a + b)^{n}$ 의 전개식에서 일반항은 $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$ (단, $r = 0, 1, \dots, n$ ) 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 곱에서 특정 차수의 항을 찾을 때는, 곱해지는 각 다항식에서 어떤 차수의 항들이 만나야 원하는 차수가 되는지 경우를 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 다항식 분리 및 경우 나누기

주어진 다항식 $(2 x - 1)^{5} (x + 1)$ 을 전개하면 다음과 같이 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

$(2 x - 1)^{5} (x + 1) = (2 x - 1)^{5} \cdot x + (2 x - 1)^{5} \cdot 1$

이 식에서 $x^{3}$ 항이 만들어지려면 다음 두 가지 경우가 있습니다.

첫째, $(2 x - 1)^{5} \cdot x$ 에서 $x^{3}$ 항이 되려면, $(2 x - 1)^{5}$ 의 전개식에서 $x^{2}$ 항이 나와야 합니다. ( $x^{2} \times x = x^{3}$ )

둘째, $(2 x - 1)^{5} \cdot 1$ 에서 $x^{3}$ 항이 되려면, $(2 x - 1)^{5}$ 의 전개식에서 $x^{3}$ 항이 나와야 합니다. ( $x^{3} \times 1 = x^{3}$ )

step2. 이항정리를 이용한 일반항 구하기

이항정리를 이용하여 $(2 x - 1)^{5}$ 의 일반항을 구해보겠습니다.

일반항은 $_{5} C_{r} (2 x)^{5 - r} (- 1)^{r}$ 입니다. (단, $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ )

이를 정리하면, $_{5} C_{r} \cdot 2^{5 - r} \cdot (- 1)^{r} \cdot x^{5 - r}$ 이 됩니다.

[함정경고] 일반항을 세울 때 $(- 1)^{r}$ 부분의 부호를 빠뜨리기 쉽습니다. 부호까지 정확히 포함하여 계산해야 합니다.

step3. 각 경우의 계수 계산 및 합산

이제 step1에서 찾은 두 가지 경우의 계수를 각각 계산해 봅시다.

첫째 경우: $(2 x - 1)^{5}$ 에서 $x^{2}$ 항의 계수

$x^{5 - r} = x^{2}$ 이려면 $5 - r = 2$ , 즉 $r = 3$ 이어야 합니다.

$r = 3$ 을 일반항에 대입하면 계수는

$_{5} C_{3} \cdot 2^{5 - 3} \cdot (- 1)^{3} = 10 \times 2^{2} \times (- 1) = 10 \times 4 \times (- 1) = - 40$ 입니다.

따라서 첫 번째 부분에서 나오는 $x^{3}$ 항은 $- 40 x^{3}$ 입니다.

둘째 경우: $(2 x - 1)^{5}$ 에서 $x^{3}$ 항의 계수

$x^{5 - r} = x^{3}$ 이려면 $5 - r = 3$ , 즉 $r = 2$ 이어야 합니다.

$r = 2$ 를 일반항에 대입하면 계수는

$_{5} C_{2} \cdot 2^{5 - 2} \cdot (- 1)^{2} = 10 \times 2^{3} \times 1 = 10 \times 8 \times 1 = 80$ 입니다.

따라서 두 번째 부분에서 나오는 $x^{3}$ 항은 $80 x^{3}$ 입니다.

최종적으로 전체 전개식에서 $x^{3}$ 의 계수는 두 경우의 계수를 더한 값입니다.

$- 40 + 80 = 40$

따라서 정답은 40이며, 보기 중 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 다항식 분리

$(2 x - 1)^{5} (x + 1) = (2 x - 1)^{5} \cdot x + (2 x - 1)^{5} \cdot 1$

step2. 일반항

$(2 x - 1)^{5}$ 의 일반항: $_{5} C_{r} (2 x)^{5 - r} (- 1)^{r} =_{5} C_{r} 2^{5 - r} (- 1)^{r} x^{5 - r}$

step3. 계수 계산

1) $(2 x - 1)^{5}$ 에서 $x^{2}$ 항 --- $r = 3$

$_{5} C_{3} \cdot 2^{2} \cdot (- 1)^{3} = 10 \times 4 \times (- 1) = - 40$

2) $(2 x - 1)^{5}$ 에서 $x^{3}$ 항 --- $r = 2$

$_{5} C_{2} \cdot 2^{3} \cdot (- 1)^{2} = 10 \times 8 \times 1 = 80$

따라서 $x^{3}$ 의 계수 = $- 40 + 80 = 40$

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