2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 6월 모평 고3 수학 확률과통계

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 10. 23:16

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번
문제의 분류	고등학교 (경우의 수/함수의 개수)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

30. 집합

X = {1, 2, 3, 4, 5}

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수

f : X \to X

의 개수를 구하시오. [4점] (가)

x = 1, 2, 3, 4

일 때

f (x + 1) + 3 \geq f (x) + x

이다. (나)

f (2)

의 값은 홀수이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 부등식 조건과 특정 함숫값의 조건을 만족하는 함수의 개수를 수형도나 경우의 수를 나누어 체계적으로 세는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 집합

X = {1, 2, 3, 4, 5}

- 함수

f : X \to X

- (가)

x = 1, 2, 3, 4

일 때,

f (x + 1) + 3 \geq f (x) + x

- (나)

f (2)

의 값은 홀수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)의 부등식을 정리하고, 조건 (나)에 따라 $f (2)$ 의 값을 기준으로 경우를 나누어 푸는 방법으로 해결합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)의 부등식을 $f (x + 1) \geq f (x) + x - 3$ 형태로 정리하고, $x = 1, 2, 3, 4$ 를 대입하여 각 함숫값들 사이의 관계식을 구합니다.

step2. 조건 (나)에 의해 $f (2)$ 는 홀수이므로, $f (2)$ 가 가질 수 있는 값인 1, 3, 5를 기준으로 세 가지 경우로 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 $f (1)$ 이 가질 수 있는 값의 개수를 구합니다.

step4. 각 경우에 대해 $f (3), f (4), f (5)$ 가 가질 수 있는 순서쌍의 개수를 조합을 이용하여 구합니다.

step5. 구한 경우의 수를 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조합 (Combination): 서로 다른 $n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ 개를 택하는 경우의 수로, 기호로는 $_{n} C_{r}$ 로 나타냅니다. 이 문제에서는 부등식 $a \leq b < c$ 형태의 조건을 만족하는 순서쌍의 개수를 구할 때 사용됩니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 주어진 부등식 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하는 문제입니다. [키포인트] 조건 (가)의 식을 $f (x + 1) \geq f (x) + x - 3$ 으로 정리한 후, $x = 1, 2, 3, 4$ 를 대입하여 함숫값들 사이의 관계를 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가) 정리 및 관계식 도출

조건 (가)의 식 $f (x + 1) + 3 \geq f (x) + x$ 를 정리하면 다음과 같습니다.

$f (x + 1) \geq f (x) + x - 3$

여기에 $x = 1, 2, 3, 4$ 를 각각 대입하면 다음 네 개의 부등식을 얻을 수 있습니다.

$x = 1$ 일 때: $f (2) \geq f (1) - 2$

$x = 2$ 일 때: $f (3) \geq f (2) - 1$

$x = 3$ 일 때: $f (4) \geq f (3)$

$x = 4$ 일 때: $f (5) \geq f (4) + 1$

step2. $f (2)$ 의 값에 따른 경우 나누기

조건 (나)에서 $f (2)$ 의 값은 홀수라고 하였고, 공역이 $X = {1, 2, 3, 4, 5}$ 이므로 $f (2)$ 가 가질 수 있는 값은 1, 3, 5입니다.

따라서 $f (2)$ 의 값을 기준으로 세 가지 경우로 나누어 생각합니다.

step3. & step4. 각 경우별 함수의 개수 구하기

Case 1: $f (2) = 1$ 인 경우

- $f (1)$ 의 개수: $1 \geq f (1) - 2$ 이므로 $f (1) \leq 3$ 입니다. 따라서 $f (1)$ 은 1, 2, 3 중 하나를 가질 수 있어 3가지입니다.

- $f (3), f (4), f (5)$ 의 개수: $f (3) \geq 1 - 1 = 0$ 이므로 $f (3)$ 은 1 이상의 모든 값을 가질 수 있습니다.

$f (3), f (4), f (5)$ 의 관계는 $f (3) \leq f (4) \leq f (5) - 1$ 이며, 이를 다시 쓰면 $f (3) \leq f (4) < f (5)$ 입니다.

$f (3) = k$ ( $k = 1, 2, 3, 4$ )라고 할 때, $k \leq f (4) < f (5) \leq 5$ 를 만족하는 $(f (4), f (5))$ 의 순서쌍 개수는 집합 ${k, k + 1, \dots, 5}$ 에서 서로 다른 2개의 수를 뽑는 조합의 수 $_{6 - k} C_{2}$ 와 같습니다.

$k = 1$ 일 때: $_{5} C_{2} = 10$ 가지

$k = 2$ 일 때: $_{4} C_{2} = 6$ 가지

$k = 3$ 일 때: $_{3} C_{2} = 3$ 가지

$k = 4$ 일 때: $_{2} C_{2} = 1$ 가지

$k = 5$ 일 때: $f (4) < f (5)$ 를 만족할 수 없으므로 0가지

따라서 $f (3), f (4), f (5)$ 를 정하는 경우의 수는 $10 + 6 + 3 + 1 = 20$ 가지입니다.

- Case 1의 총 경우의 수: $3 \times 20 = 60$ 가지

Case 2: $f (2) = 3$ 인 경우

- $f (1)$ 의 개수: $3 \geq f (1) - 2$ 이므로 $f (1) \leq 5$ 입니다. 따라서 $f (1)$ 은 1, 2, 3, 4, 5 모두 가능하여 5가지입니다.

- $f (3), f (4), f (5)$ 의 개수: $f (3) \geq 3 - 1 = 2$ 이므로 $f (3)$ 은 2 이상이어야 합니다.

이는 Case 1에서 $k \geq 2$ 인 경우와 같으므로, $6 + 3 + 1 = 10$ 가지입니다.

- Case 2의 총 경우의 수: $5 \times 10 = 50$ 가지

Case 3: $f (2) = 5$ 인 경우

- $f (1)$ 의 개수: $5 \geq f (1) - 2$ 이므로 $f (1) \leq 7$ 입니다. 따라서 $f (1)$ 은 1, 2, 3, 4, 5 모두 가능하여 5가지입니다.

- $f (3), f (4), f (5)$ 의 개수: $f (3) \geq 5 - 1 = 4$ 이므로 $f (3)$ 은 4 이상이어야 합니다.

이는 Case 1에서 $k \geq 4$ 인 경우와 같으므로, 1가지입니다.

- Case 3의 총 경우의 수: $5 \times 1 = 5$ 가지

[함정경고] $f (3) \leq f (4) \leq f (5) - 1$ 조건에서 $f (4)$ 와 $f (5)$ 의 관계를 $f (4) < f (5)$ 로 변환하여 조합을 사용하는 부분을 놓치기 쉽습니다. 중복조합으로 착각하지 않도록 주의해야 합니다.

step5. 최종 정답 도출

모든 경우의 수를 더하면 $60 + 50 + 5 = 115$ 가지입니다.

[정답] 115

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 정리

$f (x + 1) \geq f (x) + x - 3$

$x = 1 : f (2) \geq f (1) - 2$

$x = 2 : f (3) \geq f (2) - 1$

$x = 3 : f (4) \geq f (3)$

$x = 4 : f (5) \geq f (4) + 1 ⟹ f (4) < f (5)$

step2. $f (2)$ 값에 따른 분류

$f (2) \in {1, 3, 5}$

step3. & 4. 각 경우별 계산

Case 1: $f (2) = 1$

$f (1) \leq 3 ⟹ 3$ 가지

$f (3) \geq 0 ⟹ f (3) \in {1, 2, 3, 4, 5}$

$f (3) \leq f (4) < f (5)$ 만족하는 순서쌍:

$f (3) = 1 ⟹_{5} C_{2} = 10$

$f (3) = 2 ⟹_{4} C_{2} = 6$

$f (3) = 3 ⟹_{3} C_{2} = 3$

$f (3) = 4 ⟹_{2} C_{2} = 1$

$f (3) = 5 ⟹ 0$

합계: $3 \times (10 + 6 + 3 + 1) = 60$

Case 2: $f (2) = 3$

$f (1) \leq 5 ⟹ 5$ 가지

$f (3) \geq 2 ⟹ f (3) \in {2, 3, 4, 5}$

합계: $5 \times (6 + 3 + 1) = 50$

Case 3: $f (2) = 5$

$f (1) \leq 7 ⟹ 5$ 가지

$f (3) \geq 4 ⟹ f (3) \in {4, 5}$

합계: $5 \times 1 = 5$

step5. 최종 계산

따라서 $60 + 50 + 5 = 115$

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