2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 23번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 순열과 조합)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

7개의 문자 $a,a,a,b,b,b,c$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점] ① 70 ② 105 ③ 140 ④ 175 ⑤ 210

1. 문제의 요지

이 문제는 같은 것이 있는 순열의 수를 구하는 공식을 이용하여 주어진 문자들을 일렬로 나열하는 경우의 수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 나열할 문자: $a,a,a,b,b,b,c$
- 총 문자의 개수: 7개
- $a$의 개수: 3개
- $b$의 개수: 3개
- $c$의 개수: 1개

3. 풀이의 순서

이 문제는 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 경우의 수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 나열할 전체 문자의 개수와 중복되는 문자의 개수를 파악합니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 식을 세웁니다.

step3. 팩토리얼을 계산하고 약분하여 최종 경우의 수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 같은 것이 있는 순열: $n$개의 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\cdots$, $r$개 있을 때, 이 $n$개를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\frac{n!}{p!\times q!\times \cdots \times r!}$ (단, $p+q+\cdots +r=n$) 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 중복되는 문자가 포함된 나열은 '같은 것이 있는 순열' 공식을 사용해야 합니다.

step1. 나열할 전체 문자의 개수와 중복되는 문자의 개수를 파악합니다.

주어진 문자는 $a,a,a,b,b,b,c$로 총 7개입니다.

이 중 $a$가 3개, $b$가 3개, $c$가 1개 있습니다.

step2. 같은 것이 있는 순열의 공식을 적용하여 식을 세웁니다.

전체 7개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $7!$입니다.

그런데 $a$가 3개, $b$가 3개로 서로 구분이 되지 않으므로, 중복되는 경우의 수인 $3!$과 $3!$로 나누어 주어야 합니다.

따라서 구하는 경우의 수는 $\frac{7!}{3!\times 3!}$ 입니다.

[함정경고] 중복되는 문자의 개수만큼 팩토리얼로 나누어 주는 것을 잊지 마세요. 단순히 $7!$로 계산하면 안 됩니다.

step3. 팩토리얼을 계산하고 약분하여 최종 경우의 수를 구합니다.

$\frac{7!}{3!\times 3!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{3!\times (3\times 2\times 1)}$

분자와 분모의 $3!$을 약분하면,

$=\frac{7\times 6\times 5\times 4}{6}$

분모의 6과 분자의 6을 약분하면,

$=7\times 5\times 4=140$

따라서 구하는 경우의 수는 140입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 문자 개수 파악

총 7개   --- $a$: 3개, $b$: 3개, $c$: 1개

step2. 식 세우기

$\frac{7!}{3!\times 3!}$   --- (같은 것이 있는 순열 이용)

step3. 계산

$=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3!}{3!\times 6}$

$=\frac{7\times 6\times 5\times 4}{6}$

$=7\times 5\times 4$

$=140$

$\therefore 정답③$

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