2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번

고3 수학/(2027학년도) 2026년 5월 학평 고3 수학 확률과통계

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 8. 14:08

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번
문제의 분류	고등학교 (경우의 수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

다음 조건을 만족시키는 6 이하의 자연수

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}

의 모든 순서쌍

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})

의 개수는? [3점] (가)

a_{5} - a_{1} = 4

이고,

2 \leq k \leq 4

인 모든 자연수

k

에 대하여

a_{1} \leq a_{k} \leq a_{5}

이다. (나)

a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times a_{4} \times a_{5}

의 값은 짝수이다. ① 163 ② 178 ③ 193 ④ 208 ⑤ 223

1. 문제의 요지

이 문제는 조건을 만족하는 순서쌍의 개수를 구할 때, 여사건을 활용하여 곱이 짝수인 경우를 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}

는 6 이하의 자연수
- (가)

a_{5} - a_{1} = 4

- (가)

a_{1} \leq a_{2}, a_{3}, a_{4} \leq a_{5}

- (나)

a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times a_{4} \times a_{5}

는 짝수

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)를 통해 $a_{1}$ 과 $a_{5}$ 의 값을 확정하고, 조건 (나)의 '곱이 짝수'라는 조건을 여사건을 이용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 만족하는 $(a_{1}, a_{5})$ 의 순서쌍을 찾습니다.

step2. $(a_{1}, a_{5}) = (1, 5)$ 인 경우, 여사건을 이용하여 곱이 짝수가 되는 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 의 순서쌍 개수를 구합니다.

step3. $(a_{1}, a_{5}) = (2, 6)$ 인 경우, 곱이 항상 짝수이므로 가능한 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 의 순서쌍 개수를 구합니다.

step4. 두 경우의 수를 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 경우의 수: 어떤 사건이 일어날 경우의 수는 전체 경우의 수에서 그 사건이 일어나지 않을 경우의 수를 빼서 구할 수 있습니다. '적어도 하나가 ~일 경우'를 구할 때 유용합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 여러 수의 곱이 짝수라는 조건은 '적어도 하나가 짝수'라는 의미와 같습니다. 이럴 때는 전체 경우의 수에서 '모두 홀수인 경우'를 빼는 여사건을 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

step1. 조건 (가)를 만족하는 $(a_{1}, a_{5})$ 의 순서쌍 찾기

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 는 6 이하의 자연수입니다.

조건 (가)에서 $a_{5} - a_{1} = 4$ 이므로, 이를 만족하는 $(a_{1}, a_{5})$ 의 순서쌍은 다음과 같이 두 가지뿐입니다.

- $a_{1} = 1, a_{5} = 5$

- $a_{1} = 2, a_{5} = 6$

step2. $(a_{1}, a_{5}) = (1, 5)$ 인 경우

조건 (가)에 의해 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 는 $1 \leq a_{k} \leq 5$ 를 만족해야 하므로, 각각 1, 2, 3, 4, 5 중 하나의 값을 가질 수 있습니다.

조건 (나)에서 다섯 수의 곱이 짝수여야 합니다.

[함정경고] 여기서 짝수가 1개인 경우, 2개인 경우, 3개인 경우를 일일이 나누어 계산하면 시간이 오래 걸리고 실수하기 쉽습니다. 여사건을 활용하세요.

전체 경우의 수에서 다섯 수가 모두 홀수인 경우를 빼면 됩니다.

- 전체 경우의 수: $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 가 각각 5가지 값을 가질 수 있으므로 $5 \times 5 \times 5 = 125$ 가지입니다.

- 모두 홀수인 경우: $a_{1} = 1, a_{5} = 5$ 는 이미 홀수이므로, $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 도 모두 홀수여야 합니다. 1부터 5까지의 홀수는 1, 3, 5의 3개이므로 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 가지입니다.

따라서 이 경우의 순서쌍 개수는 $125 - 27 = 98$ 가지입니다.

step3. $(a_{1}, a_{5}) = (2, 6)$ 인 경우

조건 (가)에 의해 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 는 $2 \leq a_{k} \leq 6$ 을 만족해야 하므로, 각각 2, 3, 4, 5, 6 중 하나의 값을 가질 수 있습니다.

조건 (나)에서 다섯 수의 곱이 짝수여야 하는데, 이미 $a_{1} = 2, a_{5} = 6$ 이 짝수이므로 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 가 어떤 값을 가지든 다섯 수의 곱은 항상 짝수가 됩니다.

따라서 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 는 5가지 값 중 아무거나 가질 수 있습니다.

이 경우의 순서쌍 개수는 $5 \times 5 \times 5 = 125$ 가지입니다.

step4. 최종 정답 도출

두 경우의 수를 더하면 총 순서쌍의 개수가 됩니다.

$98 + 125 = 223$

따라서 조건을 만족하는 모든 순서쌍의 개수는 223개입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. a1, a5 확정

$a_{5} - a_{1} = 4$ --- $a_{i} \leq 6$

$∴ (a_{1}, a_{5}) = (1, 5)$ 또는 $(2, 6)$

step2. a1=1, a5=5 인 경우

$1 \leq a_{2}, a_{3}, a_{4} \leq 5$

곱이 짝수 $\to$ (전체) - --- 모두 홀수

전체: $5^{3} = 125$

모두 홀수 (1,3,5): $3^{3} = 27$

$125 - 27 = 98$

step3. a1=2, a5=6 인 경우

$2 \leq a_{2}, a_{3}, a_{4} \leq 6$

이미 $a_{1}, a_{5}$ 가 짝수이므로 곱은 항상 짝수

$5^{3} = 125$

step4. 정답 도출

$98 + 125 = 223$

$∴$ 223

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