2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$에 대하여 $X$에서 $X$로의 모든 일대일대응 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은? [4점] (가) $f(1)<f(3)$, $f(2)<f(4)$ (나) 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$에 대하여 $|f(1)-f(5)|\ge f^{-1}(1)$이다. ① $\frac{3}{20}$ ② $\frac{1}{6}$ ③ $\frac{11}{60}$ ④ $\frac{1}{5}$ ⑤ $\frac{13}{60}$

1. 문제의 요지

이 문제는 일대일대응의 성질과 주어진 부등식 조건을 만족하는 함수의 개수를 경우를 나누어 세는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$
- $f:X\to X$는 일대일대응
- 조건 (가): $f(1)<f(3)$, $f(2)<f(4)$
- 조건 (나): $|f(1)-f(5)|\ge f^{-1}(1)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 $f^{-1}(1)$의 값에 따라 경우를 나누어 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 전체 일대일대응 함수의 개수를 구합니다.

step2. $f^{-1}(1)=k$라 두고, $k$가 1, 2, 3, 4, 5일 때로 경우를 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 조건 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 함수의 개수를 구합니다.

step4. 구한 경우의 수를 모두 더하여 확률을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 일대일대응: 정의역과 공역의 원소 개수가 같을 때, 서로 다른 원소가 서로 다른 원소에 대응되는 함수입니다. 개수는 $n!$로 구합니다.

- 조합: 서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수로, 크기가 정해진 배정 문제에서 사용됩니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 [키포인트] $f^{-1}(1)$의 값, 즉 어떤 원소가 1로 대응되는지에 따라 경우를 나누어 접근하는 것이 핵심입니다.

step1. 전체 경우의 수 구하기

집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$에서 $X$로의 일대일대응 $f$의 전체 개수는 $5!=120$입니다.

step2. $f^{-1}(1)=k$로 두고 경우 나누기

$f^{-1}(1)=k$라 하면, $f(k)=1$입니다. $k$는 1, 2, 3, 4, 5 중 하나입니다.

step3. 각 경우별 조건을 만족하는 함수 개수 구하기

조건 (가): $f(1)<f(3)$, $f(2)<f(4)$

조건 (나): $|f(1)-f(5)|\ge k$

Case 1: $k=1$일 때 ($f(1)=1$)

조건 (나)는 $|1-f(5)|\ge 1$이 되어 $f(5)\ge 2$입니다. $f(1)=1$이므로 남은 함숫값들은 모두 2 이상이어서 항상 성립합니다.

조건 (가)에서 $f(1)<f(3)⟹1<f(3)$ 역시 항상 성립합니다.

이제 남은 원소 $2,3,4,5$를 $f(2),f(3),f(4),f(5)$에 배정해야 합니다.

- $f(5)$를 정하는 경우의 수: $2,3,4,5$ 중 하나이므로 4가지입니다.

- 남은 3개의 값을 $f(2),f(3),f(4)$에 배정할 때, $f(2)<f(4)$를 만족해야 합니다. 3개의 값 중 2개를 골라 작은 것을 $f(2)$, 큰 것을 $f(4)$에 주고, 남은 1개를 $f(3)$에 주면 되므로 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$가지입니다.

따라서 이 경우의 수는 $4\times 3=12$가지입니다.

Case 2: $k=2$일 때 ($f(2)=1$)

조건 (가)에서 $f(2)<f(4)⟹1<f(4)$는 항상 성립합니다.

조건 (나)는 $|f(1)-f(5)|\ge 2$입니다.

남은 함숫값 $2,3,4,5$ 중에서 차이가 2 이상인 $(f(1),f(5))$ 쌍을 찾고, 조건 (가)의 $f(1)<f(3)$을 만족하도록 남은 값을 $f(3),f(4)$에 배정합니다.

- $f(1)=2,f(5)=4$: 남은 값은 $3,5$. $f(1)=2<f(3)$이므로 $f(3)$은 3, 5 모두 가능 (2가지)

- $f(1)=2,f(5)=5$: 남은 값은 $3,4$. $f(1)=2<f(3)$이므로 $f(3)$은 3, 4 모두 가능 (2가지)

- $f(1)=3,f(5)=5$: 남은 값은 $2,4$. $f(1)=3<f(3)$이므로 $f(3)$은 4만 가능 (1가지)

- $f(1)=4,f(5)=2$: 남은 값은 $3,5$. $f(1)=4<f(3)$이므로 $f(3)$은 5만 가능 (1가지)

- $f(1)=5$인 경우는 $f(1)<f(3)$을 만족하는 $f(3)$이 존재하지 않아 불가능합니다.

따라서 이 경우의 수는 $2+2+1+1=6$가지입니다.

Case 3: $k=3$일 때 ($f(3)=1$)

조건 (가)에서 $f(1)<f(3)⟹f(1)<1$이 되어야 하는데, 함숫값은 1 이상이므로 불가능합니다. (0가지)

Case 4: $k=4$일 때 ($f(4)=1$)

조건 (가)에서 $f(2)<f(4)⟹f(2)<1$이 되어 불가능합니다. (0가지)

Case 5: $k=5$일 때 ($f(5)=1$)

조건 (나)에서 $|f(1)-1|\ge 5⟹f(1)\ge 6$이 되어 불가능합니다. (0가지)

[함정경고] $k=3,4,5$인 경우 조건 (가)나 (나)에 의해 모순이 발생하여 경우의 수가 0이 됨을 놓치지 않고 꼼꼼히 확인해야 합니다.

step4. 확률 계산

조건을 만족하는 총 경우의 수는 $12+6=18$가지입니다.

따라서 구하는 확률은 $\frac{18}{120}=\frac{3}{20}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

전체 경우의 수 = 5! = 120

$(step2.f^{-1}(1)=k로경우나누기)$

f(k) = 1

step3. 각 경우별 계산

Case 1: k=1 (f(1)=1)

---(조건 (나) |1-f(5)|>=1은 항상 성립, 조건 (가) 1

f(5) 선택: 4가지

f(2)

f(3) 배정: 1가지

$\therefore 4*3*1=12가지$

Case 2: k=2 (f(2)=1)

---(조건 (가) 1=2)

(f(1), f(5)) 쌍 및 f(3) 배정 (f(1)

   --- 2, 4) -> f(3)은 3, 5 (2가지

   --- 2, 5) -> f(3)은 3, 4 (2가지

   --- 3, 5) -> f(3)은 4 (1가지

   --- 4, 2) -> f(3)은 5 (1가지

(5, 2), (5, 3) -> f(1)

$\therefore 2+2+1+1=6가지$

Case 3: k=3 (f(3)=1)

---(f(1)<1 불가)

$\therefore 0가지$

Case 4: k=4 (f(4)=1)

---(f(2)<1 불가)

$\therefore 0가지$

Case 5: k=5 (f(5)=1)

---(|f(1)-1|>=5 -> f(1)>=6 불가)

$\therefore 0가지$

step4. 확률 계산

총 경우의 수 = 12 + 6 = 18

확률 = 18120 = 320

$\therefore 정답:①$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기