2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

고3 수학/(2027학년도) 2026년 5월 학평 고3 수학 확률과통계

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 8. 14:06

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 경우의 수)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

8개의 공과 숫자 1, 2, 4, 8이 하나씩 적혀 있는 4장의 카드가 있다. 숫자 1, 2, 4, 8이 하나씩 적혀 있는 4개의 빈 상자에 8개의 공과 4장의 카드를 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공이나 카드를 넣지 않는 상자가 있을 수 있다.) (가) 1이 적힌 상자에 들어 있는 카드의 개수는 1이고 8이 적힌 상자에 들어 있는 카드의 개수는 2 이상이다. (나) n(n = 2, 4, 8)이 적힌 상자에는 n의 배수가 적힌 카드가 들어 있거나 공이 n개 이상 들어 있다.

1. 문제의 요지

이 문제는 조건에 맞게 카드와 공을 상자에 분배하는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 카드의 분배 상황에 따라 공을 분배하는 조건이 달라지므로, 카드의 분배 경우를 먼저 나누고 각 경우에 대해 공을 분배하는 중복조합의 수를 계산해야 합니다.

2. 주어진 조건

- 공 8개 (서로 구별 안 함)
- 카드 4장 (1, 2, 4, 8)
- 상자 4개 (1, 2, 4, 8)
- (가) 1번 상자에 카드 1장, 8번 상자에 카드 2장 이상
- (나) n번 상자(n=2, 4, 8)에는 n의 배수 카드가 있거나 공이 n개 이상 있어야 함

3. 풀이의 순서

이 문제는 카드의 분배 상황에 따라 공을 분배하는 조건이 달라지므로, 카드의 분배 경우를 먼저 나누고 각 경우에 대해 공을 분배하는 중복조합의 수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (나)를 분석하여 8번 카드가 반드시 8번 상자에 들어가야 함을 확인합니다.

step2. 1번 상자에 들어갈 카드(1, 2, 4 중 하나)에 따라 세 가지 경우로 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 남은 2장의 카드를 분배하는 5가지 세부 경우를 나누고, 각각에 필요한 공의 개수 조건을 파악하여 중복조합으로 경우의 수를 계산합니다.

step4. 모든 경우의 수를 합산하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 중복조합: 서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허락하여 $r$ 개를 택하는 조합의 수로, 기호로는 $_{n} H_{r}$ 로 나타내며 $_{n} H_{r} =_{n + r - 1} C_{r}$ 로 계산합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 카드의 분배 상황에 따라 공을 분배하는 조건이 달라지므로, 카드의 분배 경우를 먼저 나누고 각 경우에 대해 공을 분배하는 중복조합의 수를 계산해야 합니다.

step1. 8번 카드의 위치 확정

조건 (나)에 의해 8번 상자에 8번 카드가 없으면 공이 8개 이상 필요합니다. 총 공이 8개이므로 8번 상자에 공 8개가 들어가면 2번, 4번 상자에는 공이 0개가 됩니다. 이때 2번, 4번 상자는 반드시 $n$ 의 배수 카드를 가져야 하지만, 8번 상자에 카드가 2장 이상 들어가야 하므로 2번, 4번 상자 중 적어도 하나는 카드가 0장이 되어 조건 (나)를 만족할 수 없습니다. 따라서 8번 카드는 반드시 8번 상자에 있어야 합니다.

step2. 1번 상자에 들어갈 카드에 따라 경우 나누기

1번 상자에는 카드가 1장 들어가야 하므로, 남은 1, 2, 4번 카드 중 하나가 들어갑니다.

step3. 각 경우별 카드 분배 및 공 분배 계산

(1) 1번 상자에 1번 카드가 들어가는 경우 (남은 카드: 2, 4)

남은 2, 4번 카드를 2번, 4번, 8번 상자에 분배하되, 8번 상자에는 적어도 1장이 들어가야 합니다.

- 2, 4번 카드가 모두 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 2번 카드가 2번 상자, 4번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(2번 카드) $\to$ 조건 만족, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{4} = 35$

- 4번 카드가 2번 상자, 2번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(4번 카드) $\to$ 조건 만족, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{4} = 35$

- 2번 카드가 4번 상자, 4번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(2번 카드) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 4번 카드가 4번 상자, 2번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(4번 카드) $\to$ 조건 만족.

공 분배: $_{4} H_{6} = 84$

소계: $10 + 35 + 35 + 10 + 84 = 174$

(2) 1번 상자에 2번 카드가 들어가는 경우 (남은 카드: 1, 4)

- 1, 4번 카드가 모두 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 1번 카드가 2번 상자, 4번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(1번 카드) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 4번 카드가 2번 상자, 1번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(4번 카드) $\to$ 조건 만족, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{4} = 35$

- 1번 카드가 4번 상자, 4번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(1번 카드) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 4번 카드가 4번 상자, 1번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(4번 카드) $\to$ 조건 만족.

공 분배: $_{4} H_{6} = 84$

소계: $10 + 10 + 35 + 10 + 84 = 149$

(3) 1번 상자에 4번 카드가 들어가는 경우 (남은 카드: 1, 2)

- 1, 2번 카드가 모두 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 1번 카드가 2번 상자, 2번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(1번 카드) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 2번 카드가 2번 상자, 1번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(2번 카드) $\to$ 조건 만족, 4번 상자(카드 0장) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{4} = 35$

- 1번 카드가 4번 상자, 2번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(1번 카드) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

- 2번 카드가 4번 상자, 1번 카드가 8번 상자에 들어가는 경우:

2번 상자(카드 0장) $\to$ 공 2개 이상, 4번 상자(2번 카드) $\to$ 공 4개 이상.

공 분배: $_{4} H_{2} = 10$

소계: $10 + 10 + 35 + 10 + 10 = 75$

[함정경고] 8번 카드가 8번 상자에 들어가지 않는 경우를 고려하여 시간을 낭비하거나 오류를 범하기 쉽습니다. 조건 (나)를 면밀히 분석하여 8번 카드의 위치를 먼저 확정하는 것이 중요합니다.

step4. 총 경우의 수 계산

$174 + 149 + 75 = 398$

[정답] 398

⚡ 실전용 풀이

step1. 8번 카드의 위치 확정

8번 상자에 8번 카드가 없으면 공 8개 필요 $\to$ 2, 4번 상자 공 0개

2, 4번 상자는 $n$ 의 배수 카드 필요하나, 8번 상자에 카드 2장 이상이므로 모순

$∴$ 8번 카드는 8번 상자에 고정

step2. 1번 상자에 들어갈 카드에 따라 경우 나누기

1번 상자에 1, 2, 4 중 1장 선택

step3. 각 경우별 카드 분배 및 공 분배 계산

--- 1) 1번 상자에 1번 카드 (남은 카드: 2, 4

- 2, 4 모두 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 2는 2번, 4는 8번: $_{4} H_{4} = 35$

- 4는 2번, 2는 8번: $_{4} H_{4} = 35$

- 2는 4번, 4는 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 4는 4번, 2는 8번: $_{4} H_{6} = 84$

소계: 174

--- 2) 1번 상자에 2번 카드 (남은 카드: 1, 4

- 1, 4 모두 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 1은 2번, 4는 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 4는 2번, 1은 8번: $_{4} H_{4} = 35$

- 1은 4번, 4는 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 4는 4번, 1은 8번: $_{4} H_{6} = 84$

소계: 149

--- 3) 1번 상자에 4번 카드 (남은 카드: 1, 2

- 1, 2 모두 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 1은 2번, 2는 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 2는 2번, 1은 8번: $_{4} H_{4} = 35$

- 1은 4번, 2는 8번: $_{4} H_{2} = 10$

- 2는 4번, 1은 8번: $_{4} H_{2} = 10$

소계: 75

step4. 총 경우의 수 계산

$174 + 149 + 75 = 398$

$∴ 398$

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