2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. 두 양수 $a,b$에 대하여 함수 $f(x)=a\sin bx+1$의 주기가 $3\pi$이고 최댓값과 최솟값의 차가 6일 때, $a+b$의 값은? [3점] ① $\frac{11}{3}$ ② $4$ ③ $\frac{13}{3}$ ④ $\frac{14}{3}$ ⑤ $5$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 주기와 최댓값, 최솟값의 성질을 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 양수 $a,b$
- 함수 $f(x)=a\sin bx+1$
- $f(x)$의 주기가 $3\pi$
- $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 차가 6

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 기본 성질(주기, 최댓값, 최솟값)을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주기가 $3\pi$임을 이용하여 양수 $b$의 값을 구합니다.

step2. 최댓값과 최솟값의 차가 6임을 이용하여 양수 $a$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a$와 $b$의 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 주기: 함수 $y=A\sin (Bx)+C$의 주기는 $\frac{2\pi }{|B|}$이다.

- 삼각함수의 최댓값과 최솟값: 함수 $y=A\sin (Bx)+C$의 최댓값은 $|A|+C$, 최솟값은 $-|A|+C$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 $y=A\sin (Bx)+C$에서 주기는 $x$의 계수인 $B$에 의해 결정되고, 최댓값과 최솟값은 진폭을 결정하는 $A$와 평행이동을 나타내는 $C$에 의해 결정됩니다.

step1. 주기가 $3\pi$임을 이용하여 양수 $b$의 값을 구합니다.

함수 $f(x)=a\sin bx+1$의 주기는 $\frac{2\pi }{|b|}$입니다.

문제에서 $b$가 양수라고 주어졌으므로, 주기는 $\frac{2\pi }{b}$가 됩니다.

조건에서 주기가 $3\pi$라고 했으므로 다음 식이 성립합니다.

$\frac{2\pi }{b}=3\pi$

양변을 $\pi$로 나누고 정리하면,

$3b=2$

$b=\frac{2}{3}$

step2. 최댓값과 최솟값의 차가 6임을 이용하여 양수 $a$의 값을 구합니다.

함수 $f(x)=a\sin bx+1$의 최댓값은 $|a|+1$이고, 최솟값은 $-|a|+1$입니다.

문제에서 $a$가 양수라고 주어졌으므로, 최댓값은 $a+1$, 최솟값은 $-a+1$이 됩니다.

[함정경고] $a$가 양수라는 조건을 놓치면 절댓값을 벗길 때 부호 실수를 할 수 있으니 주의해야 합니다.

최댓값과 최솟값의 차는 다음과 같이 계산됩니다.

$(a+1)-(-a+1)=2a$

조건에서 이 차이가 6이라고 했으므로 다음 식이 성립합니다.

$2a=6$

$a=3$

step3. 구한 $a$와 $b$의 합을 계산하여 정답을 도출합니다.

$a=3$, $b=\frac{2}{3}$이므로,

$a+b=3+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 주기 조건

$\frac{2\pi }{b}=3\pi$   --- ($b>0$이므로)

$b=\frac{2}{3}$

step2. 최댓값, 최솟값 조건

최댓값: $a+1$

최솟값: $-a+1$   --- ($a>0$이므로)

$(a+1)-(-a+1)=2a=6$

$a=3$

step3. 정답 도출

따라서 $a+b=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$

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