2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번

고3 수학/(2027학년도) 2026년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 7. 23:22

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 정적분으로 정의된 함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

7. 다항함수

f (x)

가 모든 실수

x

에 대하여

\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} - 3 a x + 2

를 만족시킨다.

f (0) > 0

일 때,

f (2)

의 값은? (단,

a

는 상수이다.) ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 양변을 미분하여 피적분함수를 구하고, 적분 구간의 위끝과 아래끝을 같게 만들어 미지수를 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수

f (x)

- 모든 실수

x

에 대하여

\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} - 3 a x + 2

f (0) > 0

a

는 상수

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 성질을 이용하여 미지수를 구하고 함수식을 완성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식의 양변에 $x = a$ 를 대입하여 $a$ 에 대한 방정식을 세우고 $a$ 의 값을 구합니다.

step2. 주어진 등식의 양변을 $x$ 에 대하여 미분하여 $f (x)$ 의 식을 구합니다.

step3. 조건 $f (0) > 0$ 을 이용하여 step1에서 구한 $a$ 의 값 중 알맞은 것을 선택합니다.

step4. 완성된 $f (x)$ 식에 $x = 2$ 를 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ (단, $f (t)$ 는 연속함수, $a$ 는 상수)

- 정적분의 성질: $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 정적분으로 정의된 함수가 포함된 등식은 양변을 미분하거나, 적분 구간의 위끝과 아래끝이 같아지도록 $x$ 에 적절한 값을 대입하는 것이 핵심입니다.

step1. $x = a$ 대입하여 $a$ 값 구하기

주어진 등식 $\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} - 3 a x + 2$ 의 양변에 $x = a$ 를 대입합니다.

좌변은 $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ 이 되므로,

$0 = a^{2} - 3 a (a) + 2$

$0 = - 2 a^{2} + 2$

$2 a^{2} = 2$

$a^{2} = 1$

따라서 $a = 1$ 또는 $a = - 1$ 입니다.

step2. 양변 미분하여 $f (x)$ 구하기

주어진 등식의 양변을 $x$ 에 대하여 미분합니다.

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 a x + 2)$

$f (x) = 2 x - 3 a$

step3. 조건 $f (0) > 0$ 을 이용하여 $a$ 값 확정하기

문제의 조건에서 $f (0) > 0$ 이라고 했습니다.

step2. 에서 구한 $f (x)$ 식에 $x = 0$ 을 대입하면,

$f (0) = 2 (0) - 3 a = - 3 a$

즉, $- 3 a > 0$ 이므로 $a < 0$ 이어야 합니다.

[함정경고] 여기서 $a$ 의 부호를 확인하지 않고 임의로 $a = 1$ 을 선택하면 오답이 나오므로 주의해야 합니다.

step1. 에서 구한 $a = 1, - 1$ 중 $a < 0$ 인 값은 $a = - 1$ 입니다.

step4. $f (2)$ 값 구하기

$a = - 1$ 을 $f (x)$ 식에 대입하여 함수를 완성합니다.

$f (x) = 2 x - 3 (- 1) = 2 x + 3$

이제 구하고자 하는 $f (2)$ 의 값을 계산합니다.

$f (2) = 2 (2) + 3 = 4 + 3 = 7$

따라서 $f (2)$ 의 값은 7입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. x=a 대입

$\int_{a}^{a} f (t) d t = a^{2} - 3 a^{2} + 2 = 0$

$- 2 a^{2} + 2 = 0 ⟹ a^{2} = 1 ⟹ a = \pm 1$

step2. 양변 미분

$f (x) = 2 x - 3 a$

step3. 조건 확인

$f (0) = - 3 a > 0 ⟹ a < 0$

$∴ a = - 1$

step4. f(2) 계산

$f (x) = 2 x + 3$

$f (2) = 2 (2) + 3 = 7$

$∴ 7$

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