2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번

고3 수학/(2027학년도) 2026년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 7. 23:22

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 8번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

8. 첫째항이 음수인 등비수열

{a_{n}}

이

a_{1} \times a_{5} = 36, a_{3} + 2 a_{4} = 2

를 만족시킬 때,

a_{2}

의 값은? [3점] ① 3 ② 6 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내고, 이를 풀어 첫째항과 공비를 구한 뒤 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수열

{a_{n}}

은 등비수열
- 첫째항

a_{1} < 0

a_{1} \times a_{5} = 36

a_{3} + 2 a_{4} = 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 첫째항과 공비에 대한 식으로 변환한 후 연립하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 두 조건을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 첫 번째 조건식에서 $a r^{2}$ 의 값을 구합니다. 이때 첫째항이 음수라는 조건을 활용하여 부호를 결정합니다.

step3. 구한 $a r^{2}$ 의 값을 두 번째 조건식에 대입하여 공비 $r$ 을 구합니다.

step4. $a_{2} = a r$ 임을 이용하여 최종적으로 $a_{2}$ 의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 등비수열 문제에서는 모든 항을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 로 표현하여 연립방정식을 세우는 것이 기본이자 핵심입니다.

등비수열 ${a_{n}}$ 의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 이라고 합시다.

문제의 조건에 따라 $a < 0$ 입니다.

step1. 조건을 $a$ 와 $r$ 에 대한 식으로 나타내기

등비수열의 일반항 공식 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 을 이용하면,

$a_{1} = a$

$a_{3} = a r^{2}$

$a_{4} = a r^{3}$

$a_{5} = a r^{4}$

입니다.

step2. 첫 번째 조건식 풀이

주어진 첫 번째 조건 $a_{1} \times a_{5} = 36$ 에 대입하면,

$a \times (a r^{4}) = 36$

$a^{2} r^{4} = 36$

$(a r^{2})^{2} = 36$

따라서 $a r^{2} = 6$ 또는 $a r^{2} = - 6$ 입니다.

[함정경고] 여기서 무심코 $a r^{2} = 6$ 이라고 단정 짓기 쉽습니다. 문제에 주어진 '첫째항이 음수'라는 조건을 반드시 확인해야 합니다.

$a < 0$ 이고, 실수의 제곱인 $r^{2} \geq 0$ 이므로, $a r^{2}$ 은 0 이하의 수여야 합니다.

따라서 $a r^{2} = - 6$ 이 됩니다. (이 값은 곧 $a_{3}$ 의 값입니다.)

step3. 두 번째 조건식 풀이

주어진 두 번째 조건 $a_{3} + 2 a_{4} = 2$ 에 대입하면,

$a r^{2} + 2 a r^{3} = 2$

이 식은 $a r^{2} + 2 (a r^{2}) r = 2$ 로 묶어 쓸 수 있습니다.

앞서 구한 $a r^{2} = - 6$ 을 대입하면,

$- 6 + 2 (- 6) r = 2$

$- 6 - 12 r = 2$

$- 12 r = 8$

$r = - \frac{8}{12} = - \frac{2}{3}$

step4. $a_{2}$ 의 값 구하기

우리가 구하고자 하는 값은 $a_{2} = a r$ 입니다.

앞서 $a r^{2} = - 6$ 임을 알았고, 이는 $(a r) \times r = - 6$ 과 같습니다.

즉, $a_{2} \times r = - 6$ 입니다.

여기에 $r = - \frac{2}{3}$ 을 대입하면,

$a_{2} \times (- \frac{2}{3}) = - 6$

$a_{2} = - 6 \times (- \frac{3}{2}) = 9$

따라서 $a_{2}$ 의 값은 9입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건식 세우기

$a_{1} = a, a_{5} = a r^{4}$

$a_{1} a_{5} = a^{2} r^{4} = (a r^{2})^{2} = 36$

step2. $a r^{2}$ 구하기

$a < 0, r^{2} \geq 0$ 이므로

$a r^{2} = - 6$

step3. 공비 $r$ 구하기

$a_{3} + 2 a_{4} = 2$

$a r^{2} + 2 a r^{3} = 2$

$- 6 + 2 (- 6) r = 2$ --- ( $a r^{2} = - 6$ 대입)

$- 12 r = 8 ∴ r = - \frac{2}{3}$

step4. $a_{2}$ 구하기

$a_{2} = a r$

$a r^{2} = (a r) r = a_{2} r = - 6$

$a_{2} (- \frac{2}{3}) = - 6$

$∴ a_{2} = 9$

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