2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번

고3 수학/(2027학년도) 2026년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 7. 23:21

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

11. 다음 조건을 만족시키는 모든 수열

a_{n}

에 대하여

a_{1}

의 값의 합은? [4점] (가) 모든 자연수

n

에 대하여

a_{n + 1} = {\begin{matrix} - 2 a_{n} & (a_{n} < 0) \\ a_{n} - 3 & (a_{n} \geq 0) \end{matrix}

이다. (나)

a_{3} = a_{1} + 4

①

- \frac{2}{3}

②

- 1

③

- \frac{4}{3}

④

- \frac{5}{3}

⑤

- 2

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 조건에 따라 경우를 나누어 초기항 $a_{1}$ 의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 자연수 n에 대하여

a_{n + 1} = {\begin{matrix} - 2 a_{n} & (a_{n} < 0) \\ a_{n} - 3 & (a_{n} \geq 0) \end{matrix}

a_{3} = a_{1} + 4

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 귀납적 정의에 따라 $a_{1}$ 의 범위를 나누어 $a_{3}$ 를 $a_{1}$ 에 대한 식으로 나타내어 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a_{1} < 0$ 인 경우, $a_{2}$ 와 $a_{3}$ 를 구하여 $a_{1}$ 의 값을 찾습니다.

step2. $a_{1} \geq 0$ 인 경우, $a_{2}$ 의 부호에 따라 다시 경우를 나누어 $a_{3}$ 를 구하고 $a_{1}$ 의 값을 찾습니다.

step3. 구한 $a_{1}$ 의 값들이 각각의 가정(조건)을 만족하는지 확인하고, 모든 $a_{1}$ 의 값의 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값에 따라 다음 항이 결정되는 규칙을 이용하여 항들을 순차적으로 구합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 수열의 귀납적 정의가 조건에 따라 다르게 주어졌을 때는, 첫째항 $a_{1}$ 의 부호부터 시작하여 차근차근 경우를 나누어 다음 항을 구하는 것이 핵심입니다.

주어진 조건 (가)에 따라 $a_{1}$ 의 부호에 따라 경우를 나누어 $a_{2}$ , $a_{3}$ 를 구해봅시다.

step1. $a_{1} < 0$ 인 경우

$a_{1} < 0$ 이므로 조건 (가)의 첫 번째 식을 적용합니다.

$a_{2} = - 2 a_{1}$

이때 $a_{1} < 0$ 이므로 $- 2 a_{1} > 0$ , 즉 $a_{2} > 0$ 이 됩니다.

따라서 $a_{3}$ 를 구할 때는 조건 (가)의 두 번째 식을 적용합니다.

$a_{3} = a_{2} - 3 = - 2 a_{1} - 3$

조건 (나)에서 $a_{3} = a_{1} + 4$ 라고 했으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.

$- 2 a_{1} - 3 = a_{1} + 4$

$- 3 a_{1} = 7$

$a_{1} = - \frac{7}{3}$

이 값은 처음에 가정한 $a_{1} < 0$ 조건을 만족하므로 올바른 해입니다.

step2. $a_{1} \geq 0$ 인 경우

$a_{1} \geq 0$ 이므로 조건 (가)의 두 번째 식을 적용합니다.

$a_{2} = a_{1} - 3$

이제 $a_{3}$ 를 구하기 위해 $a_{2}$ 의 부호를 알아야 하는데, $a_{1}$ 의 값에 따라 $a_{2}$ 의 부호가 달라지므로 다시 경우를 나눕니다.

(1) $a_{2} < 0$ 인 경우

$a_{1} - 3 < 0$ 이므로 $0 \leq a_{1} < 3$ 입니다.

$a_{2} < 0$ 이므로 조건 (가)의 첫 번째 식을 적용합니다.

$a_{3} = - 2 a_{2} = - 2 (a_{1} - 3) = - 2 a_{1} + 6$

조건 (나)에 대입하면,

$- 2 a_{1} + 6 = a_{1} + 4$

$- 3 a_{1} = - 2$

$a_{1} = \frac{2}{3}$

이 값은 가정한 $0 \leq a_{1} < 3$ 조건을 만족하므로 올바른 해입니다.

(2) $a_{2} \geq 0$ 인 경우

$a_{1} - 3 \geq 0$ 이므로 $a_{1} \geq 3$ 입니다.

$a_{2} \geq 0$ 이므로 조건 (가)의 두 번째 식을 적용합니다.

$a_{3} = a_{2} - 3 = (a_{1} - 3) - 3 = a_{1} - 6$

조건 (나)에 대입하면,

$a_{1} - 6 = a_{1} + 4$

$- 6 = 4$

이는 모순이므로, 이 경우에는 해가 존재하지 않습니다.

[함정경고] $a_{1}$ 의 값을 구한 후에는 반드시 처음에 나눈 범위(조건)에 속하는지 확인해야 합니다. 범위를 벗어나는 값은 해가 될 수 없습니다.

step3. 모든 $a_{1}$ 의 값의 합 계산

가능한 $a_{1}$ 의 값은 $- \frac{7}{3}$ 과 $\frac{2}{3}$ 입니다.

따라서 모든 $a_{1}$ 의 값의 합은

$- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$

정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. $a_{1} < 0$ 인 경우

$a_{2} = - 2 a_{1} > 0$

$a_{3} = a_{2} - 3 = - 2 a_{1} - 3$

$- 2 a_{1} - 3 = a_{1} + 4$ --- (조건 (나)에 대입)

$- 3 a_{1} = 7 \Rightarrow a_{1} = - \frac{7}{3}$ --- 조건 만족

step2. $a_{1} \geq 0$ 인 경우

$a_{2} = a_{1} - 3$

(1) $a_{2} < 0$ ( $0 \leq a_{1} < 3$ )인 경우

$a_{3} = - 2 a_{2} = - 2 (a_{1} - 3) = - 2 a_{1} + 6$

$- 2 a_{1} + 6 = a_{1} + 4$

$- 3 a_{1} = - 2 \Rightarrow a_{1} = \frac{2}{3}$ --- 조건 만족

(2) $a_{2} \geq 0$ ( $a_{1} \geq 3$ )인 경우

$a_{3} = a_{2} - 3 = a_{1} - 6$

$a_{1} - 6 = a_{1} + 4 \Rightarrow - 6 = 4$ --- 모순

step3. 합 계산

$- \frac{7}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$

$∴ ④$

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